불당지구 고등수학과외

조건부확률에서는 처음부터 주사위의 모든 눈을 분모로 두지 않고, 이미 알려진 조건에 맞는 결과만 남겨 표본을 줄여야 합니다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 계산 결과만 고치는 데 그치지 않고, 어떤 집합이 분모가 되었는지와 구하는 사건이 그 안에서 어떻게 표현되는지를 함께 확인합니다.

“4와 6이므로 2/6”이라고 답했다면

공정한 주사위에서 짝수 눈이 나왔다고 할 때, 그 눈이 4 이상일 조건부확률을 구하는 문제를 생각해 봅니다. 풀이에 “4, 6 두 눈이므로 2/6=1/3”이라고 적혀 있다면, 4 이상인 결과를 찾은 것은 맞지만 조건이 주어진 뒤의 범위를 분모에 반영하지 않은 상태입니다. 다만 이 한 번의 오답만으로 개념을 완전히 모른다고 단정하지 않습니다. 조건과 구하는 사건의 방향을 바꾼 것인지, 조건이 생긴 뒤 가능한 전체를 바꾸지 못한 것인지 확인해야 합니다.

먼저 “이미 짝수라고 알 때 가능한 눈은 몇 개인가?”라고 묻고, 학생이 주사위 눈을 직접 적어 보게 합니다. 짝수라는 조건이 붙으면 전체 {1, 2, 3, 4, 5, 6}에서 {2, 4, 6}만 남습니다. 여기서 4 이상인 눈은 {4, 6}이므로, 남은 세 가지 중 두 가지가 해당합니다. 조건부확률 P(B|A)는 A가 일어난 경우만 남긴 뒤 그 안에서 B도 일어난 비율이며, P(A)>0일 때 정의됩니다. 이는 시간적 순서나 원인을 뜻하는 기호가 아니므로, 조건과 목표 사건의 위치를 문장으로 다시 읽어야 합니다.

조건 집합을 표시하고 수정 풀이 쓰기

학생이 표나 수직선에 전체 눈을 적은 뒤 조건에 해당하는 {2, 4, 6}을 둘러 표시하고, 그중 목표 사건인 {4, 6}에 다시 표시하게 합니다. 그러면 분모는 여섯 개가 아니라 조건 집합의 원소 세 개이고, 분자는 그 안에서 목표에 맞는 두 개라는 사실을 직접 확인할 수 있습니다. 학생의 수정 풀이는 “짝수인 눈은 {2, 4, 6}이고, 그중 4 이상인 눈은 {4, 6} 두 개이므로 조건부확률은 2/3이다”가 됩니다.

정의로도 같은 결과를 확인할 수 있습니다. 짝수이고 4 이상인 경우는 4와 6, 즉 2가지이므로 P(4 이상|짝수)=P(짝수이고 4 이상)/P(짝수)=(2/6)/(3/6)=2/3입니다. 오른쪽 식의 분모가 조건에 해당하는 확률이라는 점을 표시하고, 약분한 결과와 집합으로 센 결과가 일치하는지 대조합니다.

방향을 바꾼 문제로 다시 확인하기

이제 문제와 조건의 역할을 바꿉니다. 공정한 주사위에서 4 이상인 눈이 나왔다고 할 때, 짝수일 조건부확률을 구합니다. 이번에는 조건 집합이 {4, 5, 6}이므로 분모에 남는 결과는 세 개이고, 그중 짝수인 교집합은 {4, 6} 두 개입니다. 따라서 답은 2/3이며, P(짝수|4 이상)=(2/6)/(3/6)으로도 확인됩니다. 두 방향의 수치가 이번에는 우연히 같지만, 조건 집합을 먼저 정하는 절차까지 같은 것은 아닙니다.

마지막에는 문제의 문장, 주사위의 범위, 조건만 남기고 풀이와 정답을 가린 상태에서 다시 시작합니다. “이미 짝수라고 알 때 가능한 눈은 몇 개인가?”라는 질문에 맞는 근거를 고른 뒤 분모 집합을 표시하고, 수정 풀이를 문장과 식으로 다시 씁니다. 표의 분모를 혼동하면 조건에 해당하는 행이나 집합만 둘러 표시하게 하여, 표현만 바뀐 문제와 실제 조건이 바뀐 문제를 구별하는지 다음 점검에서 확인합니다.