신당동 초등수학과외

두 종이를 붙였을 때 생기는 질문

이 글은 초등수학에서 도형의 둘레를 살펴보는 교육용 예시입니다. 다음 활동에서 아이가 이렇게 생각했다고 가정해 보겠습니다. 변의 길이가 5cm와 3cm로 표시된 같은 직사각형 종이 두 장을 준비하고, 5cm인 세로 변 전체를 맞붙입니다. 두 종이는 나란히 이어져 가로 10cm, 세로 3cm인 하나의 직사각형 모양이 됩니다. 붙이기 전에는 각 종이의 모든 변이 둘레에 포함되지만, 붙인 뒤 가운데에 놓인 접합선은 겉에서 보이지 않는 내부 선이 됩니다.

아이는 그림에 선이 보인다는 이유로 접합선까지 합친 도형의 둘레라고 생각할 수 있습니다. 그러나 둘레는 도형의 바깥 경계를 따라 잰 길이입니다. 두 종이가 맞닿은 선분은 한 종이와 다른 종이 사이에 놓여 있을 뿐, 합친 모양의 바깥쪽 경계가 아닙니다. 따라서 “그림에 보이는 모든 선이 둘레다”라는 해석은 이 조건에서는 맞지 않습니다.

외곽선과 접합선을 직접 구분하기

활동 전에 아이가 직사각형의 둘레를 구하는 방법을 알고 있는지, 두 종이가 맞닿은 선분을 표시할 수 있는지는 자료를 놓고 확인할 내용으로 삼습니다. 교사는 두 종이를 붙인 뒤 가운데 접합선을 다른 색으로 표시하고, “이 선은 종이의 바깥에 있나요, 안쪽에 있나요?”라고 묻습니다. 아이가 말로 설명하기 어렵다면 접합선을 손가락으로 짚거나, 종이의 바깥 가장자리를 따라 손가락을 움직여 보게 합니다.

이때 점 하나에서만 닿는 점 접촉과 일정한 길이의 선분이 겹치는 선분 접촉도 구분합니다. 이번 문제에서는 세로 변 전체가 맞닿았으므로 길이 3cm인 공유 변이 내부에 놓입니다. 교사는 접합선을 따라가다가 외곽선이 아닌 지점에서 멈추는 모습을 보여 준 뒤, 나머지 외곽은 아이가 직접 한 바퀴 따라가게 합니다. 아이가 접합선을 제외한 바깥 경계를 표시하면, 그 선들이 새 직사각형의 가로 10cm와 세로 3cm를 이룬다는 점을 연결합니다.

새 도형의 둘레를 식으로 나타내기

아이와 함께 외곽의 가로 길이 10cm, 세로 길이 3cm를 확인한 뒤 새 둘레를 2×(10+3)=26cm로 계산합니다. 여기서 접합선 3cm를 다시 더하지 않는 이유는 이미 내부에 놓여 외곽을 이루지 않기 때문입니다. 아이가 “두 직사각형의 둘레를 더한 뒤 접합선 하나만 뺀다”고 하면, 접합선은 원래 두 종이의 둘레에 각각 한 번씩 포함되어 있었다는 점을 다시 짚어 줍니다. 원래 둘레의 합에서 빠지는 길이는 접합선 한 번이 아니라 양쪽에서 계산된 3cm씩, 모두 6cm입니다. 실제로 각 직사각형의 둘레는 2×(5+3)=16cm이므로 16+16-6=26cm가 됩니다.

재시도할 때는 문제와 두 직사각형 종이는 그대로 두고, 해설과 정답만 가립니다. 교사는 종이를 처음처럼 3cm 세로 변 전체가 맞닿도록 다시 놓고, 접합선 표시도 지운 상태에서 아이가 직접 붙이게 합니다. 아이는 가운데 선을 새 외곽에 포함하지 않고 바깥을 한 바퀴 따라 표시한 다음, 가로와 세로의 길이를 읽어 식과 답까지 완성합니다. 긴 설명을 하지 못해도 접합선을 가리키고 외곽선만 따라가면 이해의 근거로 볼 수 있습니다.

조건이 달라진 문제에 적용하기

이어서 같은 방법을 새로운 자료에 적용합니다. 이번에는 6cm×3cm 직사각형 두 장을 세로 변 전체로 맞붙입니다. 기본 문제와 달라진 것은 각 직사각형의 가로 길이가 5cm에서 6cm로 바뀐 점이고, 세로 변 전체가 맞닿는다는 관계는 같습니다. 아이는 두 장을 붙여 가로 12cm, 세로 3cm인 외곽을 만들고, 내부 접합선을 다른 색으로 표시합니다. 그런 뒤 바깥 경계만 따라가며 2×(12+3)=30cm를 구합니다.

필요하다면 가로 5cm, 세로 3cm인 두 직사각형을 평행하게 어긋나 놓아 세로 방향으로 2cm만 맞닿게 하는 상황도 비교할 수 있습니다. 이때는 전체 변이 아니라 실제로 겹친 2cm만 공유 변입니다. 두 직사각형의 둘레 합 32cm에서 접촉 구간이 양쪽에 한 번씩 포함된 4cm를 빼므로 새 둘레는 28cm입니다. 다음에는 숫자만 기억하는지, 달라진 접촉 길이를 자료에서 찾아 외곽선과 식으로 연결하는지 확인합니다.