신당동 고등수학과외

변수가 아래끝에 있을 때 먼저 달라지는 결론

다음 식을 보고 풀이를 시작해 보자. G(x)=∫(x부터 2까지)(t²+1)dt (x∈R)일 때 G′(x)와 G(2)를 구하는 문제다. 기본적으로 적분 구간의 끝점에 x가 포함되어 있지만, 이번에는 x가 위끝이 아니라 아래끝에 놓여 있다. 이 조건을 표시하지 않고 곧바로 미적분의 기본정리를 적용하면 부호를 놓칠 수 있다. 학생이 이렇게 답했다면 먼저 식에서 움직이는 끝점과 고정된 끝점을 각각 표시하고, x=2일 때 구간 [2,2]가 된다는 점을 확인하게 한다.

적분을 직접 계산하면 G(x)=14/3−(x³/3+x)이다. 따라서 G′(x)=−x²−1이고, G(2)=14/3−8/3−2=0이다. 여기서 − 부호는 계산 과정에서 우연히 생긴 것이 아니라, 아래끝에서 위끝 방향으로 적분하던 구간의 시작점이 움직이는 구조에서 나온다. 위끝이 움직일 때와 아래끝이 움직일 때의 미분값이 어떻게 달라지는지 한 문장으로 설명하게 하면, 표현만 바뀐 것인지 조건 자체가 바뀐 것인지 구별할 수 있다.

기준이 되는 정적분 함수로 조건 세우기

이제 기준 문제로 돌아간다. F(x)=∫(0부터 x까지)(t²+1)dt (x∈R)일 때 F′(x)와 F(0)을 구하는 문제다. 적분함수 t²+1은 모든 실수에서 연속이므로, 위끝 x를 변수로 둔 정적분은 미적분의 기본정리에 따라 F′(x)=x²+1이 된다. 먼저 F(x)=x³/3+x로 계산해 두면 직접 미분해도 같은 결과를 얻는다. 학생에게 이 단계에서 멈추고, 적분의 위끝과 아래끝 중 어느 값이 움직이는지 말한 뒤 다음 줄을 직접 잇게 한다.

F(0)은 적분 구간이 [0,0]이므로 F(0)=0이다. 길이가 0인 구간의 누적량을 1로 읽었다면, “구간 [0,0]의 길이는 얼마인가?”를 묻고 식에 0을 대입해 확인하게 한다. F′(x)=0이라는 오답도 단순 암기 부족으로 단정하지 않는다. 적분으로 정의한 함수를 상수로 읽었는지, 위끝 x가 실제로 움직인다는 사실을 놓쳤는지, 혹은 미분해야 할 식을 아직 계산하지 않았는지를 차례로 확인한다.

직접 계산한 뒤 두 구조를 다시 대조하기

학생은 F(x)=x³/3+x를 바탕으로 F′(x)=x²+1, F(0)=0이라고 수정해 쓸 수 있다. 이 답은 미적분의 기본정리와 직접 미분한 결과가 일치하고, 초기 누적량도 적분 구간이 사라지는 조건과 맞는다. 수치 하나를 대입해 맞았다고 결론내리는 것이 아니라, 모든 x∈R에서 t²+1이 연속이라는 조건 아래 성립하는 식으로 확인해야 한다.

그다음에는 문제의 식과 정답을 가린 채 G(x)=∫(x부터 2까지)(t²+1)dt, x∈R이라는 조건과 필요한 자료만 남겨 다시 시작한다. 학생은 먼저 경계값 2와 변수 x의 위치를 표시하고, G(x)=14/3−x³/3−x로 바꾼 뒤 직접 미분한다. 결과 G′(x)=−x²−1, G(2)=0을 얻으면, 기준 문제와 달라진 것은 적분함수나 정의역이 아니라 변수의 위치와 적분 방향이라는 점을 한 문장으로 적게 한다. 이런 방식의 배움노트 고등수학 수업에서는 풀이를 외우는 데서 멈추지 않고, 끝점 조건을 남긴 채 다시 계산해 부호의 근거까지 확인한다.