용산동 초등수학과외

점의 모양은 바뀌어도 전체 수는 그대로일까

이 글은 초등수학 학습을 위한 교육용 예시입니다. 점을 일정한 간격으로 찍은 점판에 점 3행 5열을 만든 상황을 생각해 보겠습니다. 한 줄에 점이 5개이고 그런 줄이 3개이므로, 점을 한 줄씩 세면 5+5+5=15입니다. 다음 활동에서 아이가 “배열을 90° 돌리면 행과 열이 달라지니 점의 전체 수도 달라질 것 같다”고 생각했다고 가정해 보겠습니다. 이 반응이 나왔다면 먼저 점의 위치와 개수가 실제로 변했는지 살펴볼 필요가 있습니다. 배열을 돌리는 것은 점을 더하거나 빼는 일이 아니라 같은 점들의 방향을 바꾸는 일이기 때문입니다.

교사는 점판의 첫 번째 줄과 마지막 줄을 손가락으로 짚으며 “돌리기 전에는 한 줄에 몇 개가 있고, 그런 줄이 몇 줄인가요?”라고 묻습니다. 아이가 말로 바로 답하기 어렵다면 점을 하나씩 짚으며 ‘하나, 둘, 셋…’ 하고 세게 하거나, 한 줄에 해당하는 점을 손가락으로 따라가게 할 수 있습니다. 이때 점의 순서를 바꾸어 확인하더라도 각 점을 한 번씩만 포함하면 전체 점은 15개입니다. 행과 열이라는 이름이 바뀌는 것과 점의 개수가 바뀌는 것은 서로 다른 일입니다.

행과 열을 곱셈식으로 연결하기

교사는 점판의 가로 한 줄을 가리키며 5개라는 수를 확인하고, 세로로 이어진 줄의 수가 3개임을 보여 줍니다. 그다음 같은 양을 3×5=15로 나타냅니다. 배열을 90° 돌린 뒤에는 한 줄에 3개인 줄이 5개가 되므로 5×3=15로 표현할 수 있습니다. 두 식에서 앞의 수와 뒤의 수의 역할은 바뀌었지만, 점 하나하나가 사라지거나 새로 생기지는 않았습니다. 따라서 3×5와 5×3은 이 점 배열의 같은 전체 점 수를 나타냅니다.

아이는 점판을 직접 돌려 보고, 돌리기 전의 가로줄과 세로줄을 각각 표시합니다. 이어서 한 줄을 따라 점 5개를 세고 그 줄이 3개라는 것을 확인한 뒤, 돌린 점판에서는 한 줄에 3개씩 5줄임을 표시합니다. 교사가 “돌린 뒤 새로 생긴 점이 있나요? 빠진 점이 있나요?”라고 물으면 아이는 점을 가리키거나 옮겨 보며 두 배열에 같은 점이 들어 있음을 확인할 수 있습니다. 말로 긴 이유를 설명하지 못하더라도 같은 점을 한 번씩 짚고 15까지 세거나, 두 식을 점판 옆에 써서 대응하면 이해의 근거가 드러납니다.

해설 뒤 처음 상태에서 다시 해 보기

아이가 ‘행과 열을 바꾸면 전체 수가 달라진다’고 답했다면 그 답만 틀렸다고 지적하고 끝내지 않습니다. 교사는 점판의 일부를 짚어 배열을 돌리는 모습을 한 번 시범 보인 뒤, 점판과 문제 조건은 그대로 두고 해설과 정답 표시는 가립니다. 점을 이미 15개로 만들어 둔 상태에서 다시 시작하지 않도록, 아이가 3행 5열 점판을 처음 상태로 놓고 직접 세어 보게 합니다.

아이는 한 줄의 점 5개를 표시하고 그 줄을 3개로 묶어 5+5+5=15를 만든 뒤, 점판을 돌려 한 줄의 점 3개와 줄 5개를 다시 표시합니다. 그런 다음 3×5=15, 5×3=15를 적고 두 식의 결과가 같은지 확인합니다. 교사는 숫자만 맞게 적었는지보다 점판의 각 점이 두 배열에서 한 번씩만 포함되었는지, 곱셈식의 두 수가 각각 ‘한 줄의 점 수’와 ‘줄 수’를 나타내는지 살핍니다.

새 배열에서 같은 관계 적용하기

이제 자료를 새로 준비해 점 4행 6열 배열을 보여 주고, 이를 90° 돌려 행과 열의 이름을 바꾸어 보게 합니다. 기본 문제와 달라진 것은 점의 수와 배열의 크기입니다. 아이는 돌리기 전 한 줄에 6개인 줄이 4개임을 확인하여 6+6+6+6=24 또는 4×6=24로 나타낼 수 있습니다. 돌린 뒤에는 한 줄에 4개인 줄이 6개가 되므로 6×4=24가 됩니다. 점은 더하거나 빼지 않았으므로 두 식의 전체는 같습니다.

다음 확인에서는 아이가 15나 24라는 답을 외워 말하는지보다, 새 점판에서 한 줄의 점 수와 줄 수를 직접 세고 두 수를 곱으로 연결하는지 살핍니다. 필요할 때는 한 줄을 가리키게 하거나 점을 옮겨 배열을 돌려 보게 하여 이유를 행동으로 나타내도록 합니다. 한 줄 5개인 점이 3줄이라면 5+5+5=15이지만, 3+5는 같은 관계를 나타내는 식이 아닙니다. 전체를 이루는 줄의 수와 한 줄의 점 수를 더하는 것, 그리고 두 수를 곱해 배열 전체를 나타내는 것을 구분해 확인할 수 있습니다.