죽전동 초등수학과외

전체가 보이지 않을 때 생기는 질문

초등수학에서는 보이는 수와 가려진 수를 합해 전체를 찾는 활동을 자주 합니다. 다음 활동에서 아이가 이렇게 생각했다고 가정해 보겠습니다. 스티커 5장을 책상 위에 놓고 일부를 가림 종이로 덮었는데, 전체 수 카드가 제공되지 않은 상황입니다. 질문은 “가림 아래에는 스티커가 몇 장 있을까?”입니다. 이때 보이는 5장만 세고 곧바로 가린 수를 하나로 정하려 한다면, 문제의 조건을 다시 살펴볼 필요가 있습니다. 전체 스티커 수가 알려지지 않았으므로 가림 아래에 2장이 있어도 전체는 7장이고, 4장이 있어도 전체는 9장입니다. 두 경우 모두 보이는 5장과 가린 스티커가 겹치지 않게 하나의 전체를 이룹니다.

보이는 부분과 가린 부분을 나누어 확인하기

교사는 먼저 스티커를 가리기 전과 후에 무엇이 달라졌는지 함께 살핍니다. 아이가 스티커를 하나씩 짚으며 전체를 세어 보게 하고, 가림 종이를 덮은 뒤에는 “지금 보이는 부분은 몇 장인가?”, “전체 스티커 수를 알고 있는가?”라고 묻습니다. 아이가 말로 이유를 설명하기 어렵다면 교사가 보이는 5장을 가리키고, 가림 종이를 조금 옮겨 보이는 부분과 덮인 부분이 서로 겹치지 않는다는 점을 확인하게 할 수 있습니다. 이 과정은 보이는 부분을 세는 일과 전체를 아는 일을 구별하기 위한 것입니다. 가림 아래에 2장을 넣었다가 다시 4장으로 바꾸어도 보이는 5장은 그대로이지만 전체 수가 달라진다는 것을 직접 비교할 수 있습니다.

전체가 없으면 가린 수를 결정할 수 없다

아이와 함께 스티커 모형을 두 가지로 만들어 봅니다. 첫 번째에는 보이는 5장 뒤에 2장을 놓아 전체를 7장으로 만들고, 두 번째에는 같은 보이는 5장 뒤에 4장을 놓아 전체를 9장으로 만듭니다. 두 모형에서 보이는 부분은 모두 5장이지만 가린 부분은 서로 다릅니다. 따라서 이 조건에서는 “가린 수는 결정할 수 없다”가 답입니다. 교사는 전체 수 카드가 없다는 점을 짚고, 전체가 알려진 경우에만 전체에서 보이는 부분을 비교해 가린 수를 정할 수 있다고 설명합니다. 문제와 스티커, 가림 종이는 그대로 두고 해설과 정답만 가린 뒤, 아이가 처음부터 스티커를 다시 놓아 보게 합니다. 아이는 5장을 보이는 쪽에 놓고 가린 부분에는 가능한 수를 넣어 보며, 하나의 답으로 정해지는지 확인합니다. 말 대신 5장과 가린 2장 또는 4장을 각각 가리키고 옮기는 행동으로도 조건이 여러 가지임을 보여 줄 수 있습니다.

전체가 알려진 새 문제에 적용하기

이번에는 새로운 자료로 전체 스티커가 15장이라고 알려 주고, 그중 5장만 보이게 합니다. 교사는 아이가 가림 종이를 열기 전에 전체와 보이는 부분을 비교하게 합니다. 가린 수는 전체 15장에서 보이는 5장을 뺀 수이므로 10장입니다. 이어서 가림 아래에서 스티커 한 장을 꺼내 보이는 쪽으로 옮기면 보이는 스티커는 6장, 가린 스티커는 9장이 됩니다. 한 장을 옮겼을 뿐 전체 15장은 변하지 않았고, 6장과 9장을 합하면 15장이므로 두 부분의 관계도 확인할 수 있습니다. 다음에는 전체 14장과 보이는 5장을 제시하고 가린 수를 예상하게 할 수 있습니다. 아이가 종이를 열기 전에 5장과 가린 9장을 합해 14장이 되는지 확인하면, 답을 기억하는 것이 아니라 자료와 수식을 연결해 이유를 보여 주는지 살필 수 있습니다. 이후에는 수와 조건이 달라져도 전체, 보이는 부분, 가린 부분을 각각 구별하며 직접 놓고 세어 보게 합니다.