온천동 초등수학과외

같은 큐브로 모양만 바꾸면 부피도 달라질까

이 글은 교육용 예시입니다. 다음 활동에서 아이가 이렇게 생각했다고 가정해 보겠습니다. 한 변의 길이가 1cm인 정육면체 큐브 12개가 있고, 이를 한 층에 3개씩 두 층으로 쌓은 모양과 한 층에 6개씩 한 층으로 놓은 모양을 비교합니다. 두 모양을 각각 3×2×2, 6×2×1로 나타낼 수 있습니다. 길쭉하게 만든 쪽이 더 커 보이거나 부피가 늘어났다고 말할 수도 있지만, 이때 사용한 큐브의 개수는 처음부터 끝까지 12개입니다. 겹쳐 놓거나 큐브를 더하거나 빼지 않았다는 조건에서, 모양과 부피를 구분해 살펴볼 문제입니다.

층별 개수와 숨은 큐브를 확인하는 과정

활동 전에는 아이가 한 변 1cm인 큐브 하나의 부피를 어떻게 확인하는지, 그리고 쌓인 모형을 층별로 나누어 세어 보는지 살핍니다. 이것을 이미 할 수 있다고 단정하지 않고, 큐브나 각 층의 개수가 표시된 자료를 눈앞에 놓고 함께 확인합니다. 교사는 모형의 바깥쪽만 세면 안 되는 부분을 짚으며 “안쪽에도 큐브가 들어 있을까?”라고 묻고, 한 층에 몇 개가 있는지와 그런 층이 몇 개인지를 따로 보게 합니다. 아이가 말로 설명하기 어렵다면 큐브 한 층을 직접 떼어 보이거나, 손가락으로 한 층의 큐브를 하나씩 가리키게 할 수 있습니다. 한 변이 1cm인 큐브 하나는 1cm³이므로, 12개의 큐브가 채운 공간은 12cm³입니다.

교사의 시범 뒤 아이가 다시 계산하기

교사가 먼저 3×2×2 모형에서 한 층에 6개가 있고 두 층이라는 점을 짚어 6×2=12로 연결해 보인 뒤, 이어지는 확인은 아이가 직접 하도록 합니다. 아이는 모형을 층별로 떼어 6개와 6개가 맞는지 세고, 큐브를 옮겨 6×2×1 모양으로 다시 배열합니다. 배열을 바꾼 뒤에는 한 층의 큐브 수와 층 수가 어떻게 달라졌는지 살피고, 모든 큐브를 한 번씩 세어 총 12개인지 확인합니다. 따라서 두 모형의 총부피는 각각 12cm³입니다. 모양은 달라졌지만 단위 큐브의 총수와 각 큐브의 크기는 그대로이기 때문입니다. 문제와 큐브는 그대로 두고 해설과 정답만 가린 뒤, 아이가 12개를 다시 놓고 층별로 세어 보게 하면 재배열 과정을 직접 확인할 수 있습니다. 긴 문장으로 이유를 말하지 못해도 12개를 가리키고, 층을 나누어 그리고, “12cm³”를 적는 행동으로 근거를 나타낼 수 있습니다.

새로운 크기의 큐브와 상자로 넓혀 보기

이어서 조건을 바꾼 새 활동에서는 한 변 2cm인 큐브 하나의 부피를 한 변 1cm인 작은 큐브와 비교합니다. 큰 큐브의 세 방향 길이가 각각 2배이므로, 작은 큐브 8개가 들어가는 크기이며 부피는 2×2×2=8cm³입니다. 기본 문제의 12개와 달리 이번에는 큐브 한 개의 크기가 달라졌다는 점을 먼저 확인해야 합니다. 아이가 작은 큐브를 큰 큐브의 세 방향에 맞추어 놓고, 8개가 채우는 공간을 세어 보면 단위의 크기와 전체 부피를 연결할 수 있습니다. 또 다른 비교로 2cm×3cm×4cm 상자를 큐브로 채우면 부피는 24cm³입니다. 이때 상자 안을 채우는 공간과 겉면에 붙일 종이는 서로 다른 양이므로, 24cm³를 종이의 넓이로 대신하지 않습니다. 다음에는 숫자만 기억해 답하는지보다, 바뀐 큐브의 크기와 층별 자료를 이용해 왜 그 답이 나오는지 보여 주는지 확인합니다.