온천동 고등수학과외

“일차방정식의 해 하나와 이차방정식의 중근은 같은 말인가?” 이렇게 물었을 때 “둘 다 해가 하나니까 같다”라고 답했다면, 먼저 처음 식의 차수와 계수를 다시 표시해야 한다. 배움노트 고등수학 수업에서는 답을 곧바로 맞히게 하기보다, 어떤 조건을 놓쳤는지 질문과 계산으로 확인한다. 문제는 실수 a에 대해 ax²+2x+1=0이 중근을 갖는 a를 구하는 것이다.

차수가 바뀌는 a부터 따로 확인하기

이렇게 답했다면 학생은 a=0일 때 x²항이 사라지고 2x+1=0이라는 일차방정식의 해가 하나라는 점을 근거로 삼은 셈이다. 하지만 ‘해가 하나’와 ‘이차방정식이 같은 근을 두 번 갖는 중근’은 같은 조건이 아니다. 학생에게 처음 식에 a=0을 직접 대입하고, 남은 식의 차수와 근의 개수를 표시하게 한다. 이어 a≠0일 때에만 이차방정식의 판별식 조건을 사용할 수 있다는 사실도 구분해 적는다.

이차방정식 ax²+bx+c=0에서 D=b²−4ac는 실근의 존재와 두 근의 중복 여부를 판단하는 기준이다. D=0이면 두 근이 같지만, 이는 최고차항 계수 a가 0이 아닌 이차방정식이라는 전제가 있을 때의 말이다. 근의 부호나 크기까지 묻는 경우에는 판별식만으로 충분하지 않고 근의 합과 곱 또는 실제 근을 추가로 확인해야 한다. 따라서 교사는 ‘D=0을 써라’고 결론을 대신 말하지 않고, 어느 식이 이차방정식인지 학생이 먼저 표시하게 한다.

학생이 조건을 남겨 수정 풀이하기

학생이 설명을 들은 뒤 직접 계산한다면 a≠0인 경우 판별식은 D=2²−4·a·1=4−4a이다. 중근 조건은 D=0이므로 4−4a=0에서 a=1을 얻는다. 이때 식은 x²+2x+1=0이고, (x+1)²=0으로 정리되어 x=−1이 두 번 겹치는 중근임을 확인할 수 있다. 반대로 a=0을 원래 식에 넣으면 2x+1=0, 즉 x=−1/2인 일차방정식이 된다. 근이 하나라는 결과만으로 중근이라고 부를 수 없으며, 차수와 중복 조건이 모두 맞아야 한다.

따라서 주어진 조건에서 정답은 a=1이다. 계산 결과를 식에 다시 대입해 a=1일 때 실제로 (x+1)²=0이 되는지, a=0일 때는 이차항이 사라지는지를 대조하면 판정 근거가 분명해진다. 숫자 하나를 대입한 확인은 결론 전체를 대신하지 않지만, 각 경우의 조건이 맞는지 점검하는 데 사용할 수 있다.

풀이를 가린 뒤 조건을 바꾸어 다시 적용하기

다음에는 문제와 조건만 남기고 풀이, 정답, 유도 표시는 가린 상태에서 시작한다. “실수 a에 대해 ax²+2x+1=0이 적어도 하나의 실근을 갖는 a를 구하라.” 이번에는 중근이 아니라 실근의 존재 범위를 묻는다는 점을 먼저 표시한다. a=0이면 x=−1/2이므로 실근이 있다. a≠0이면 D=4−4a≥0이어야 하므로 a≤1이다. 두 경우를 합치면 a≤1이며, a=0도 이 범위에 포함된다. a=1에서는 중근이 생기고, a>1에서는 D<0이라 실근이 없다.

마지막으로 학생이 처음 오답을 스스로 고쳐 “일차방정식의 해 하나와 이차방정식의 중근은 같은 말이 아니다”라고 설명하는지 확인한다. 이어 새 조건의 풀이와 정답 a≤1까지 맞으면 다음 점검으로 넘어간다. 판별식 하나로 결론을 끝내려는 모습이 보이면 근의 합과 곱을 별도로 적게 하여, 해의 존재·중복·부호 조건을 각각 구분하는 습관을 이어 간다.