명장동 초등수학과외

왼쪽 1열과 아래 1행이 만나는 칸

교육용 예시로, 다음 활동에서 아이가 이렇게 생각했다고 가정해 보겠습니다. 가로 5칸, 세로 3칸으로 나눈 직사각형 격자에서 왼쪽 1열에는 줄무늬를, 아래 1행에는 점무늬를 표시합니다. 질문은 “줄무늬를 먼저 칠할 때와 점무늬를 먼저 칠할 때 겹친 부분이 바뀔까?”입니다. 격자 전체는 5×3으로 15칸이고, 두 무늬가 함께 있는 곳은 왼쪽 아래 모서리의 1칸입니다. 어느 무늬를 먼저 표시하더라도 같은 두 영역을 표시한다면 두 조건을 함께 만족하는 칸은 변하지 않습니다.

아이의 가능한 반응으로는 먼저 칠한 무늬가 달라지면 겹침도 달라질 것 같다고 생각하는 경우를 들 수 있습니다. 이때 그 답을 곧바로 특정한 원인으로 단정하기보다, 아이가 왼쪽 1열과 아래 1행을 각각 어디에 표시하는지 살펴봅니다. 무늬의 순서를 혼동한 것인지, 격자의 칸을 하나씩 대응하지 못한 것인지, 두 영역이 만나는 조건을 찾는 과정에서 막힌 것인지 구분하려면 아이가 직접 칸을 가리키고 세어 보게 할 수 있습니다.

두 무늬가 함께 있는 영역을 찾는 방법

교사는 먼저 행과 열이 표시된 격자를 놓고 왼쪽 1열의 세 칸을 한 무늬로 표시하는 모습을 보여 줍니다. 이어 아래 1행의 다섯 칸을 다른 무늬로 표시하되, 이미 표시된 왼쪽 아래 칸에는 두 무늬가 겹친다는 점을 짚습니다. “왼쪽 1열에 속하면서 동시에 아래 1행에도 속하는 칸은 어디인가?”라고 묻고, 아이가 말로 설명하기 어렵다면 그 칸을 손가락으로 가리키거나 무늬 카드를 옮겨 표시하게 합니다.

이 활동에서 전체 칸 수와 겹친 칸 수를 구분하는 것도 중요합니다. 15칸은 격자 전체의 기준이고, 왼쪽 1열과 아래 1행이 각각 차지하는 칸을 표시하는 것은 영역을 확인하는 과정입니다. 두 무늬가 함께 있는 칸은 왼쪽 아래의 1칸뿐이므로, 겹침의 개수는 1칸입니다. 먼저 줄무늬를 놓은 뒤 점무늬를 놓아도, 순서를 바꾸어 점무늬부터 놓아도 함께 표시되는 위치는 같습니다.

아이의 직접 활동과 재시도

교사의 시범 뒤에는 문제와 격자 자료를 그대로 두고 해설과 정답만 가린 상태에서 아이가 다시 활동합니다. 아이는 먼저 한 무늬로 왼쪽 1열을 표시하고, 다른 무늬로 아래 1행을 표시합니다. 그런 다음 두 무늬가 함께 있는 칸만 골라 손가락으로 짚거나 별도 표시를 합니다. 이어 표시 순서를 바꾸어 같은 과정을 다시 해 봅니다. 두 번 모두 왼쪽 아래 한 칸을 가리키면, 아이는 긴 문장으로 설명하지 않아도 순서와 겹침의 위치가 서로 다른 정보임을 자료로 보여 준 것입니다.

교사는 “처음 표시한 영역이 바뀐 것인가, 아니면 표시하는 순서만 바뀐 것인가?”, “두 무늬가 모두 있는 칸을 몇 칸 찾았는가?”를 물으며 확인합니다. 아이가 1칸이라고 답한 뒤에는 그 칸을 직접 짚게 하고, 왼쪽 1열과 아래 1행의 표시가 같은 위치에서 만나는지 다시 살핍니다. 이렇게 하면 ‘먼저 칠한 무늬를 바꾸면 겹친 부분의 넓이가 달라진다’는 설명이 이 조건에는 맞지 않음을 확인할 수 있습니다.

새 격자와 분수 표현으로 이어 보기

새 자료에서는 가로 6칸, 세로 3칸 격자를 사용하고 왼쪽 1열과 아래 1행을 같은 방식으로 표시합니다. 기본 문제와 달라진 것은 가로 칸의 수뿐이며, 두 영역이 함께 만나는 조건은 그대로입니다. 아이는 먼저 한 무늬를 표시한 뒤 다른 무늬를 놓고, 순서를 바꾸어 다시 겹친 칸을 찾습니다. 이때도 왼쪽 아래의 1칸을 가리키며 “어느 순서든 겹친 것은 1칸”이라는 근거를 자료로 나타냅니다.

이후에는 격자에서 한 전체의 1/2을 고르고, 그 선택한 영역에서 다시 1/3을 고르는 상황과 비교할 수 있습니다. 이 경우는 앞의 ‘두 영역이 만나는 칸’을 세는 문제와 표현이 다르므로, 같은 설명을 반복하지 않고 분수의 곱셈으로 (1/2)×(1/3)=1/6이라고 나타냅니다. 선택한 부분은 원래 전체의 1/2보다 작습니다. 다음 활동에서는 아이가 답만 기억하는지, 바뀐 격자와 분수 조건에서 직접 표시하고 고른 부분을 가리키며 이유를 보여 주는지 확인합니다.