용담동 고등수학과외

속도가 양수인지 먼저 확인하는 문제

정적분과 넓이·이동 거리를 다루다 보면 계산 자체는 맞아 보여도 변위와 이동 거리를 다르게 처리해야 하는 순간을 놓칠 수 있다. 직선 운동의 속도가 v(t)=2t+1(m/s), 0≤t≤3일 때 변위와 이동 거리를 구하는 문제에서, 이렇게 답했다면 풀이를 멈추고 조건을 다시 확인해야 한다. “변위는 방향이 있으니 −12m, 거리는 12m이다.” 이 오답 하나만으로 개념을 확정하지 않고, 먼저 “이번 구간에서 속도가 음수인 때가 있는가?”라고 묻는다. 학생은 v(0), v(3)을 대입하는 데서 그치지 않고 v(t)=2t+1의 최솟값과 그래프의 위치를 직접 표시한다.

부호 있는 누적량과 이동한 길이 구별하기

속도 그래프가 시간축 위에 있으면 정적분값은 방향을 포함한 변위가 된다. 반면 이동 거리는 속력의 적분이므로 음수 구간이 있다면 그 부분의 크기를 양수로 바꾸어 더해야 한다. 이 문제에서는 v(t)≥1>0이므로 속도와 속력이 같은 조건이 계속 성립한다. 따라서 학생은 교사의 설명 뒤에 “속도가 구간 전체에서 양수이므로 위치가 계속 증가하고, 되돌아가는 구간이 없다”는 근거를 직접 완성해야 한다. 학생이 계산한 식은 ∫₀³(2t+1)dt=[t²+t]₀³=12m이다. 그러므로 변위는 12m이고 이동 거리도 12m이다. 단순히 숫자가 같다는 이유가 아니라, 속도의 부호와 위치 변화가 같은 방향이라는 점이 결론을 뒷받침한다. 배움노트 고등수학 수업에서 이런 문제를 확인할 때도 답의 모양보다 먼저 정의와 성립 조건을 표시하게 하면, 부호를 무조건 뒤집는 습관을 줄일 수 있다.

방향이 바뀌는 새 문제로 다시 적용하기

이제 풀이 순서와 정답은 가리고, 문제와 검산 방법만 남긴다. 직선 운동 속도가 v(t)=2t−2(m/s), 0≤t≤3일 때 변위와 이동 거리를 구하라. 학생은 먼저 v(t)=0이 되는 t=1을 표시하고, 운동 방향이 바뀌는지 판단한 뒤 구간을 나눈다. 변위는 전체 정적분 ∫₀³(2t−2)dt=[t²−2t]₀³=3m이다. 이동 거리는 음수 구간의 크기를 바꾸어 −∫₀¹v(t)dt+∫₁³v(t)dt=1+4=5m로 계산한다. 위치의 시작값을 0으로 두면 위치는 0에서 −1까지 갔다가 3까지 이동하므로, 최종 위치의 변화인 3m와 실제로 움직인 길이 1+4=5m가 구별된다. 학생이 정적분 한 번으로 두 답을 같게 쓰면 t=1에서 방향이 바뀐다는 표시와 각 부분의 뜻을 다시 적게 한다. 같은 풀이법을 적용하되 조건이 달라졌다는 점을 확인하는 것이다. 다음 점검에서는 문제·구간·속도식과 검산 방법만 제시하고 계산을 가린 채, 학생이 영점에서 구간을 나누고 변위와 거리를 각각 구성하는지 살핀다.