단구지구 초등수학과외

가로와 세로로 이루어진 한 층부터 살펴보기

이 글은 부피를 세는 방법을 살펴보는 교육용 예시입니다. 다음 활동에서 아이가 이렇게 생각했다고 가정해 보겠습니다. 한 변이 1cm인 정육면체 큐브를 가로 3개, 세로 2개가 되도록 빈틈없이 놓고, 같은 모양의 층을 두 층 쌓은 뒤 세 층으로 늘립니다. 질문은 “한 층을 더 쌓으면 큐브 하나만 늘어날까?”입니다. 활동 전에는 아이가 한 변 1cm인 큐브 하나의 부피가 1cm³임을 알고 있는지, 한 층의 큐브를 가로와 세로로 세어 볼 수 있는지 확인합니다. 이미 할 수 있다고 정하지 않고, 큐브를 하나씩 짚거나 층별 그림의 수를 가리키며 확인할 수 있습니다.

처음 두 층의 부피를 구하려면 한 층에 들어가는 큐브 수부터 세어야 합니다. 가로 3개와 세로 2개이므로 한 층은 3×2=6개이고, 두 층은 6×2=12개입니다. 따라서 큐브 하나의 부피가 1cm³일 때 전체 부피는 12cm³입니다. 아이가 높이가 1cm 늘어났으니 부피도 1cm³만 늘어난다고 말한다면 그 답은 이 조건에 맞지 않습니다. 높이만 보는 대신, 새로 생긴 층 전체에 큐브가 몇 개 들어가는지 살펴봐야 합니다.

숨은 큐브까지 포함해 한 층의 양을 확인하기

교사는 큐브 모형을 층별로 떼어 놓으며 “새로 생긴 층에는 큐브가 몇 개 있지?”라고 묻습니다. 아이가 뒤쪽 큐브를 바로 세기 어렵다면 교사가 앞쪽의 한 줄을 짚고, 가로 3개가 두 줄 있다는 것을 조작으로 보여 줍니다. 이어지는 층은 아이가 직접 큐브를 옮겨 3개씩 두 줄로 놓아 보게 합니다. 말로 이유를 길게 설명하지 못해도 6개를 가리키거나, 3×2를 그리거나, 큐브를 두 줄로 배열하면 한 층의 양을 확인할 수 있습니다.

두 층에서 세 층으로 바꾸면 기존 12개에 큐브 하나만 더하는 것이 아니라, 가로 3개와 세로 2개로 이루어진 한 층 6개가 추가됩니다. 그러므로 전체는 6×3=18개이고 부피는 18cm³입니다. 증가한 부피는 18cm³-12cm³=6cm³입니다. 아이가 모형을 층별로 떼어 새 층의 큐브를 세고, 한 변 1cm인 큐브 하나가 1cm³임을 연결하면 물건의 개수와 부피 단위가 같은 관계를 나타낸다는 점을 확인할 수 있습니다. 빈 공간은 큐브가 아니므로 부피에 포함하지 않고, 뒤쪽이 보이지 않아도 안에 채워진 큐브는 빠뜨리지 않습니다.

교사의 시범 뒤 아이가 다시 해결하기

아이가 “높이만 1cm 늘었으니 1cm³”라고 계속 생각한다면 교사는 정답을 반복해서 말하기보다 한 층의 6개를 직접 분리해 보여 줍니다. 그다음 문제와 큐브 자료는 그대로 두고, 해설과 정답만 가린 상태에서 모형을 처음처럼 가로 3개, 세로 2개, 높이 2개로 다시 놓게 합니다. 아이는 두 층을 세어 12cm³를 확인한 뒤, 세 번째 층을 직접 쌓고 새로 늘어난 큐브가 6개임을 표시해야 합니다. 교사는 “높이가 늘어난 것과 함께 그 높이를 채우는 가로×세로의 큐브도 함께 보았니?”라고 물을 수 있습니다. 아이가 말 대신 새 층을 떼어 내어 6개를 보여 주거나 3×2를 그려도, 부피가 12cm³에서 18cm³로 6cm³ 늘어난 근거가 드러납니다.

돌려 놓은 모형에도 같은 관계 적용하기

이어서 한 변이 1cm인 큐브를 가로 5개, 세로 2개, 높이 3개로 빈틈없이 쌓은 새로운 모형을 제시합니다. 기본 문제와 달리 가로 수와 세로 수, 높이가 모두 달라졌으므로 아이는 새 자료를 보고 다시 세어야 합니다. 모형을 수평으로 돌려 놓아도 큐브의 개수와 채워진 공간은 달라지지 않습니다. 가로 5개와 세로 2개인 한 층은 10개이고, 그런 층이 3개이므로 5×2×3=30cm³입니다. 방향을 바꾼 뒤에는 2×5×3으로 세어도 같은 30cm³가 나옵니다. 다음에는 아이가 답만 기억하는지보다, 한 층의 큐브 수와 층 수를 자료로 보여 주며 왜 30cm³인지 확인하도록 합니다.