지정지구 초등수학과외

이 글은 조합의 뜻을 확인하기 위한 교육용 예시입니다. 다음 활동에서 아이가 이렇게 생각했다고 가정해 보겠습니다. 상의 목록에 빨강, 파랑, 빨강이 적혀 있고 하의는 긴바지, 반바지, 치마 세 종류입니다. 질문은 “상의와 하의에서 하나씩 고를 때 가능한 모든 짝은 몇 가지일까? 같은 이름의 빨강이 두 번 적혀 있으면 두 가지로 셀까?”입니다. 빨강 상의와 긴바지, 빨강 상의와 반바지처럼 상의 하나와 하의 하나가 짝을 이루며, 한 항목을 고르는 것은 표의 한 칸을 정하는 것과 같습니다.

목록에 적힌 횟수와 실제 선택지 구분하기

아이에게 먼저 상의 목록의 빨강 두 곳을 차례로 가리켜 보게 하고, 두 빨강이 모양이나 상품처럼 실제로 다른 선택인지 확인합니다. 이름만 반복해 적은 것이라면 빨강 상의는 두 개가 아니라 하나의 선택지입니다. 반면 색상은 같아도 서로 다른 상품이라고 자료에 구분되어 있다면 별개의 선택으로 볼 수 있지만, 이 예시에서는 같은 항목을 중복 기재한 것으로 확인합니다. 따라서 실제 상의는 빨강과 파랑 두 종류이고, 하의는 긴바지·반바지·치마 세 종류입니다. 목록에 이름이 나타난 횟수를 그대로 세는 것과 서로 다른 선택지를 세는 것은 다릅니다.

행과 열을 이용해 모든 짝 만들기

두 선택 목록을 행과 열로 놓은 조합표를 준비합니다. 행에는 빨강 상의와 파랑 상의를, 열에는 긴바지·반바지·치마를 적습니다. 표의 한 칸은 상의 하나와 하의 하나를 함께 고른 짝이므로, 상의만 고르거나 하의만 고른 경우와 다릅니다. 교사는 빨강 행의 첫 칸을 짚으며 빨강과 긴바지가 만나는 조합임을 보여 준 뒤, 아이가 같은 행의 나머지 칸을 가리키거나 표시하게 합니다. 이어 파랑 행도 직접 채우게 하면서 중복 항목 때문에 행을 하나 더 만들지 않았는지, 금지된 조합이나 빠진 칸은 없는지 살핍니다.

아이는 빨강 행에서 세 가지, 파랑 행에서 세 가지를 대응시켜 모두 여섯 칸을 확인합니다. 식으로는 2×3=6가지입니다. 여기서 2는 실제로 다른 상의의 수이고, 3은 하의의 수입니다. 표의 여섯 칸을 하나씩 짚어 빨강-긴바지, 빨강-반바지, 빨강-치마, 파랑-긴바지, 파랑-반바지, 파랑-치마를 확인하면 답을 단순히 외운 것이 아니라 각 칸이 하나의 짝이라는 근거를 보여 준 것입니다.

교사의 도움 뒤 처음부터 다시 확인하기

아이가 빨강을 두 번 적었다는 이유만으로 상의를 세 종류라고 세면, 교사는 “두 빨강은 실제로 다른 물건일까, 아니면 같은 항목을 다시 적은 것일까?”라고 묻고 자료의 빨강 표시를 함께 비교합니다. 말로 이유를 설명하기 어렵다면 같은 빨강 표시를 손가락으로 가리키고, 중복된 표시 하나를 조합표에서 제외해 보게 합니다. 교사가 빨강 행의 한 조합을 시범으로 놓은 뒤에는 아이가 문제와 조합표를 유지한 채 표를 처음 상태에서 다시 채우도록 합니다. 해설과 정답만 가리고, 아이가 두 상의와 세 하의를 직접 대응시켜 여섯 칸을 만드는지 확인합니다.

금지 조합이 생긴 새 문제에 적용하기

이제 자료를 바꿔 상의는 빨강·파랑 두 종류, 하의는 긴바지·반바지·치마 세 종류로 다시 제시합니다. 이번에는 빨강 상의와 치마를 함께 입는 조합 한 가지만 금지합니다. 먼저 제한이 없다면 2×3=6가지임을 조합표로 만든 뒤, 빨강-치마 칸 하나를 표시해 제외합니다. 아이가 남은 칸을 직접 세면 가능한 조합은 2×3-1=5가지입니다. 기본 활동과 달라진 조건은 선택지의 수가 아니라 허용되지 않는 한 짝이 생겼다는 점입니다. 다음에는 아이가 답만 말하는지, 표에서 금지된 칸을 가리키고 전체 여섯 칸에서 하나를 뺀 이유를 보여 주는지 확인합니다.