전주효천지구 초등수학과외

위와 앞의 이름이 바뀐 상자

교육용 예시로, 가로 4cm·세로 3cm·높이 2cm인 직육면체 상자를 살펴보겠습니다. 질문은 “상자를 돌려 위와 앞의 이름을 바꾸면 겉넓이는 어떻게 될까?”입니다. 상자를 돌리기 전에는 위 면과 앞 면의 위치와 이름이 정해져 있지만, 돌린 뒤에는 같은 면이 다른 위치에서 위나 앞이 될 수 있습니다. 이때 아이가 “위와 앞이 바뀌었으니 겉넓이도 바뀐다”고 생각했다고 가정해 보겠습니다. 이 설명은 이 조건에서는 맞지 않습니다. 상자를 돌리는 것은 면의 위치나 이름을 바꾸는 것이지, 면을 새로 만들거나 없애는 일이 아니기 때문입니다.

면의 이름과 실제 넓이를 연결하기

교사는 면별 가로와 세로가 적힌 상자 전개도를 보여 주고, 각 직사각형이 상자의 어느 면을 나타내는지 함께 확인합니다. 위·아래처럼 마주 보는 두 면은 각각 4cm×3cm이므로 넓이가 12cm²씩이고, 앞·뒤 두 면은 4cm×2cm라서 8cm²씩입니다. 왼쪽·오른쪽 두 면은 3cm×2cm이므로 6cm²씩입니다. 아이가 먼저 할 일은 면의 이름을 외우는 것이 아니라, 전개도에서 같은 크기의 마주 보는 면을 찾아 짝짓는 것입니다.

아이가 면을 빠뜨리거나 같은 면을 두 번 세는 모습이 보이면 교사는 전개도의 한 부분을 짚으며 “이 면과 마주 보는 면은 어디일까?”, “상자를 덮을 때 실제로 필요한 면은 모두 몇 장일까?”라고 묻습니다. 말로 설명하기 어렵다면 아이가 손가락으로 두 면을 가리키거나 같은 크기의 면을 옮겨 한 쌍씩 묶도록 합니다. 이렇게 확인한 뒤 넓이를 식으로 연결하면 12+12+8+8+6+6=52cm²입니다. 따라서 상자를 돌려 위와 앞의 이름이 달라져도 덮는 여섯 면은 그대로이고, 겉넓이는 52cm²로 같습니다. 겉넓이는 상자를 실제로 덮는 면의 넓이 합이며, 상자 안의 부피나 접착할 때 필요한 여유 공간은 포함하지 않습니다.

자료를 처음 상태로 되돌려 다시 확인하기

교사의 시범 뒤에는 문제와 전개도 자료는 그대로 두고, 해설과 정답만 가린 상태에서 아이가 다시 해 보게 합니다. 상자 모형을 4cm, 3cm, 2cm의 조건에 맞게 놓고, 위·앞의 이름을 바꾼 뒤에도 같은 크기의 면이 각각 두 장씩 남아 있는지 직접 확인합니다. 아이가 여섯 면을 모두 가리킨 다음 12cm² 두 장, 8cm² 두 장, 6cm² 두 장을 합해 52cm²를 구하면, 답을 기억한 것이 아니라 면의 관계와 식을 연결해 해결한 근거가 드러납니다. 교사는 아이가 숫자만 적었는지, 아니면 전개도나 모형에서 같은 면을 찾아 계산했는지도 함께 살핍니다.

조건이 달라진 새 상자에 적용하기

이어서 가로 5cm·세로 3cm·높이 2cm인 상자를 사용해 같은 활동을 합니다. 이번에는 직사각형 면의 크기가 달라집니다. 5cm×3cm인 면은 15cm²씩 두 장, 5cm×2cm인 면은 10cm²씩 두 장, 3cm×2cm인 면은 6cm²씩 두 장입니다. 아이가 면을 짝지어 실제 덮는 넓이를 합하면 15+15+10+10+6+6=62cm²가 됩니다. 상자를 돌려 위와 앞의 이름을 바꾸어도 같은 여섯 면을 덮으므로 겉넓이는 62cm²로 같습니다. 다음에는 기본 상자와 새 상자에서 달라진 것은 가로의 길이와 면의 넓이이고, 그대로인 것은 마주 보는 면이 같은 크기 두 장씩이며 전체를 더한다는 관계인지 자료를 가리키고 계산으로 확인해 볼 수 있습니다.