전주태평동 초등수학과외

이 글은 사다리꼴의 밑변과 높이의 관계를 살펴보는 교육용 예시입니다. 다음 활동에서 아이가 이렇게 생각했다고 가정해 보겠습니다. 윗변이 3cm, 아랫변이 7cm, 높이가 4cm인 사다리꼴이 있고, 같은 밑변을 유지한 채 높이를 8cm로 늘렸습니다. 질문은 “높이가 두 배가 되고 두 밑변이 같다면 넓이는 어떻게 될까?”입니다. 아이가 먼저 밑변의 길이만 보고 “밑변이 같으니 넓이도 같다”고 말할 수도 있습니다. 이때 그 답을 곧바로 특정한 원인으로 단정하지 않고, 밑변과 높이가 도형의 어느 부분을 뜻하는지 확인해 봅니다.

사다리꼴의 수치와 두 장의 관계 확인하기

준비한 같은 사다리꼴 두 장에는 윗변 3cm, 아랫변 7cm, 수직 높이 4cm라는 정보를 표시합니다. 여기서 공식에 들어가는 두 밑변은 서로 평행한 변이고, 높이는 그 평행한 변 사이의 수직 거리입니다. 아이가 높이를 비스듬한 변의 길이로 생각하는지 살피기 위해 교사는 두 평행변을 손가락으로 짚고, 그 사이를 직각으로 잇는 선을 가리킵니다. 한 장의 넓이는 (3+7)×4÷2=20cm²입니다. 아이가 두 장을 맞추어 한 장을 돌려 붙이면 긴 밑변 3+7=10cm인 평행사변형처럼 만들 수 있습니다. 이 합친 도형의 넓이는 10×4=40cm²이며, 원래 사다리꼴 두 장의 넓이 20cm²+20cm²와 같습니다.

높이가 바뀔 때 아이가 직접 넓이를 비교하기

이제 밑변 3cm와 7cm는 그대로 두고, 평행변 사이의 수직 거리를 4cm에서 8cm로 바꾼 모양을 자료로 만듭니다. 교사는 “이번에는 어느 길이가 달라졌지?”, “두 평행변 사이의 거리가 몇 배가 되었지?”라고 묻습니다. 아이가 말로 답하기 어렵다면 4cm 선 옆에 같은 길이의 선을 하나 더 놓거나, 두 사다리꼴을 위아래로 비교하게 합니다. 높이가 두 배가 되었음을 가리키거나 선을 옮겨 보여도 이해의 근거가 됩니다.

교사는 처음 한 부분만 시범으로 계산합니다. (3+7)×4÷2=20cm²에서 높이 4cm를 8cm로 바꾸면 (3+7)×8÷2=40cm²가 됩니다. 아이는 이어서 두 장의 자료를 다시 맞추고, 한 장의 넓이를 20cm²씩 나누어 확인하거나 높이가 두 배인 평행사변형의 넓이를 계산합니다. 따라서 넓이는 20cm²에서 40cm²로 두 배입니다. “밑변이 같으면 항상 넓이가 같다”가 아니라, 이 문제에서는 밑변은 같고 평행변 사이의 거리가 두 배가 되었기 때문에 넓이도 두 배가 된다는 관계를 확인합니다.

새 수치에서 다시 적용하고 다음 행동 확인하기

같은 방법이 새로운 수치에서도 이어지는지 확인하기 위해 윗변 4cm, 아랫변 8cm인 사다리꼴을 준비합니다. 높이는 4cm에서 8cm로 늘립니다. 처음 넓이는 (4+8)×4÷2=24cm²이고, 높이를 8cm로 바꾼 넓이는 (4+8)×8÷2=48cm²입니다. 아이는 두 밑변을 더한 12cm를 확인한 뒤 높이의 변화만 비교하고, 넓이가 24cm²에서 48cm²로 두 배가 되는지 직접 계산합니다.

재시도할 때는 문제의 수치와 사다리꼴 자료는 그대로 두고 해설과 정답만 가립니다. 자료를 처음 상태로 놓은 뒤 아이가 두 평행변과 수직 높이를 다시 짚고, 필요한 경우 한 장을 돌려 붙여 평행사변형을 만들어 보게 합니다. 교사가 높이 부분을 짚거나 한 장의 조작을 보여 준 뒤에는 아이가 다른 장을 옮기고 식을 완성합니다. 마지막에는 기본 문제와 새 문제에서 달라진 밑변의 수치, 그대로인 높이 변화의 관계를 구분하며, 답을 외웠는지보다 자료를 이용해 왜 넓이가 두 배인지 보여 주는지를 확인합니다.