거제동 고등수학과외

행렬의 뜻과 연산을 다룰 때는 익숙한 수의 곱셈 법칙을 그대로 옮겨 쓰지 않는 것이 중요하다. 다음과 같이 A=[[1,0],[0,0]], B=[[0,0],[0,1]]인 상황에서 풀이의 조건과 계산 과정을 살펴보자. 먼저 풀이에 필요한 행렬의 크기와 각 성분의 위치를 표시하지 않고 “두 행렬이 모두 0이 아니므로 AB도 0이 아니다”라고 답했다면, 결론보다 앞서 실제 곱셈을 확인해야 한다. 이 예에서 ‘0’은 영행렬을 뜻하므로, 어떤 성분이 0인지와 행렬 전체가 영행렬인지도 구분해야 한다.

영행렬이 되는 곱에서 행과 열을 다시 표시하기

행렬 곱 AB는 같은 위치의 성분을 단순히 곱하는 연산이 아니라, A의 행과 B의 열을 대응해 각 성분을 구하는 연산이다. 따라서 AB의 네 성분을 실제로 계산하면 어떻게 되는지 먼저 묻는다. (1,1)성분은 A의 첫째 행과 B의 첫째 열을 사용하므로 1·0+0·0=0이다. 나머지도 같은 방식으로 계산하게 하여, 계산 규칙을 기억하는지, 행과 열의 위치를 혼동하는지, 또는 행렬 곱을 성분별 곱으로 이해하는지를 나누어 확인한다. 첫 성분만 맞혔다고 전체 결과를 단정하지 않고 네 성분을 직접 표시하게 한다.

오답의 원인을 확인한 뒤 수정 풀이 쓰기

“두 행렬이 0이 아니니 곱도 0이 아니다”라는 한 문장만으로 원인을 확정하지 않는다. 학생에게 행렬의 각 행과 열을 손가락이나 표시로 짚게 하고, AB의 네 성분을 계산해 보게 한다. 중간 결과를 함께 대조한 뒤 최종 판단은 학생이 문장으로 쓰도록 한다. 계산하면 (1,1)은 1·0+0·0=0, (1,2)는 1·0+0·1=0, (2,1)은 0·0+0·0=0, (2,2)는 0·0+0·1=0이다. 그러므로 AB=[[0,0],[0,0]]이다. 한편 A의 (1,1)성분과 B의 (2,2)성분은 각각 1이므로 A와 B는 모두 영행렬이 아니다. 따라서 “AB=0이면 A=0 또는 B=0”이라는 주장은 거짓이며, 이 예는 수에서의 영인수법칙을 행렬에 그대로 적용할 수 없다는 반례가 된다.

표현을 바꾼 문제와 조건을 바꾼 문제를 구별해 재적용하기

배움노트 고등수학 수업에서는 같은 계산을 다시 베끼게 하기보다 문제의 식과 조건만 남겨 독립적으로 재적용한다. 먼저 A=[[2,−1],[3,0]], I=[[1,0],[0,1]]을 제시하고 풀이와 정답은 가린다. 학생은 A+I와 AI를 각각 구하면서 덧셈은 대응하는 성분끼리, 곱셈은 행과 열의 대응으로 계산한다는 근거를 적는다. 곱의 위치가 흔들리면 전체를 한꺼번에 풀지 않고 한 성분의 행과 열만 선택하게 한다. 풀이를 마친 뒤 결과를 대조하면 A+I=[[3,−1],[3,1]], AI=[[2,−1],[3,0]]=A이다. 단위행렬과의 곱에서는 각 열이 그대로 유지되고, 덧셈에서는 대각 성분만 1씩 변한다. 처음 문제와 표현만 달라진 부분은 행렬 곱의 정의이고, 영행렬이 되는 곱과 단위행렬이 들어간 연산은 서로 다른 조건임을 구분해 다음 계산에서도 성분 위치와 부호를 먼저 확인한다.