계산동 중등수학과외

학생의 풀이와 문제 조건을 나란히 놓고 수업을 시작했다. 조건은 닮은 삼각형 A와 B의 대응변 길이가 각각 4cm, 10cm이고 A의 넓이가 12cm²일 때 B의 넓이를 구하는 것이었다. 그런데 학생은 답안에 B 넓이=12×4/25=48/25cm²라고 적었다. 교사는 곧바로 식을 지우게 하지 않고 “더 긴 대응변을 가진 B의 넓이가 A보다 작아져도 될까?”라고 물었다. 학생이 “아니요, B가 더 커야 해요”라고 말하는지, 말한 뒤에도 첫 계산에서 4/25를 선택하는지를 함께 확인했다. 이처럼 계산동중등수학과외 수업에서는 말로 알고 있는 비교와 실제 식에 넣은 비율이 일치하는지 한 단계씩 대조한다.

4cm와 10cm를 비교할 때 처음 달라진 선택

학생은 4와 10을 사용했다는 점에서는 두 대응변의 길이를 확인했지만, 넓이 12에 곱한 비율은 4/25였다. 교사는 “지금 구하려는 것은 A에서 B로 커지는 비율일까, B에서 A로 줄어드는 비율일까?”라고 다시 질문했다. 학생은 처음에는 “4를 10으로 나누면 작은 쪽의 비율”이라고 설명했지만, B의 넓이를 구한다는 말과 연결하지 못했다. 여기서 오답 하나만으로 닮음의 넓이 관계를 전혀 모른다고 단정하지 않았다. 더 큰 도형의 넓이가 줄어드는지 묻는 질문에 대한 설명과, 실제로 처음 쓴 12×4/25를 나란히 비교해 보니 이번 판단의 초점은 확대 방향을 거꾸로 잡은 데까지 좁혀졌다.

길이 배율을 먼저 정하고 제곱비로 넓이 계산하기

교사는 풀이 전체를 대신 적지 않고 한 문장만 제시했다. “A에서 B로 가는 길이 배율은 얼마일까?” 학생은 대응변을 기준으로 10÷4=5/2라고 직접 적었다. 이어 교사는 닮은 삼각형에서 밑변과 높이도 같은 배율로 변한다는 점을 짧게 대조했다. 밑변이 5/2배, 높이도 5/2배가 되므로 넓이는 한 번의 길이 배율이 아니라 두 배율의 곱으로 바뀐다. 학생은 교사의 다음 식을 기다리지 않고 (5/2)²=25/4를 적은 뒤, 넓이의 방향이 A에서 B로 확대되는 것인지 확인했다.

수정한 풀이는 다음과 같았다. 길이 배율은 10/4=5/2이고, 넓이 배율은 (5/2)²=25/4이다. 따라서 B의 넓이=12×25/4=75cm²이다. 처음 풀이에서는 작은 쪽에서 큰 쪽으로 가야 하는 상황에 4/25를 곱했지만, 수정 풀이에서는 10/4를 먼저 정하고 그 값을 제곱했다. 학생은 마지막 계산인 12×25÷4를 직접 처리하고, 답이 12cm²보다 커져야 한다는 조건도 말로 확인했다.

같은 계산을 반복하지 않는 검산과 방향 바꾸기

검산은 12×25/4를 다시 계산하는 방식으로 끝내지 않았다. 닮은 삼각형에서 밑변과 높이가 각각 5/2배라면 넓이는 (5/2)×(5/2)=25/4배가 된다. 그러므로 A의 넓이 12cm²에 이 넓이 배율을 적용하면 B가 75cm²가 되는지 조건과 대조했다. 특히 큰 대응변을 가진 B의 넓이가 더 큰 값으로 나왔는지, 단위가 cm²로 유지되는지 확인하게 했다. 이 검산을 통해 학생은 답만 맞춘 것이 아니라 확대 방향과 넓이의 변화가 서로 맞는지 설명했다.

이제 조건을 바꾼 문제를 제시했다. 닮은 두 삼각형의 넓이비가 9:25이고, 작은 삼각형의 한 변이 6cm일 때 대응하는 큰 변을 구하는 문제다. 여기서는 길이비로 넓이비를 구하는 대신, 넓이비에서 길이비를 찾아야 한다. 학생은 넓이비가 길이비의 제곱이라는 원리를 유지하여 √(9:25)=3:5라고 적었다. 따라서 큰 변은 6×5/3=10cm이다. 마지막으로 (6/10)²=36/100=9/25를 확인해 넓이비와 일치하는지 검산했다.

다음 수업에서는 원래 4cm와 10cm가 주어진 문제에서 풀이 부분만 가린 자료를 다시 제시한다. 학생은 “A에서 B로 가는 길이 배율은 5/2”라는 제한된 단서만 받은 뒤, 확대 방향의 제곱비를 스스로 세우고 B의 넓이를 구해야 한다. 교사는 정답 75cm²뿐 아니라 (5/2)²를 선택한 이유와 밑변·높이의 두 배율을 혼자 설명하는지, 완성한 식이 원래 조건과 맞는지 검산하는지를 기록한다.