일신동 고등수학과외

“빼는 배열에 BA 순서도 포함했는가?”에서 멈춘 계산

경우의 수와 순열·조합을 다룰 때, 계산 결과보다 먼저 확인할 것은 무엇을 하나의 결과로 세고 있는지이다. 서로 다른 A, B, C, D 네 명이 일렬로 설 때 A와 B가 이웃하지 않는 배열 수를 구하는 문제에서, 이렇게 답했다면 어떻게 설명했는지 살펴볼 수 있다. 전체 배열 4!=24에서 A와 B를 이웃한 한 묶음으로 보고 3!=6을 빼 18이라고 한 경우다. 이때 “빼는 배열에 BA 순서도 포함했는가?”라고 묻는다. AB만 생각했다면 제한 조건을 계산에 반영하는 과정에서 빠진 경우가 생긴다. 반대로 AB와 BA를 모두 포함했다면 개념을 몰랐다기보다 묶음 안의 순서와 전체 배열 수를 곱하는 단계를 놓친 것인지 구분해야 한다.

전체 경우와 이웃한 경우를 같은 기준으로 세기

학생에게 먼저 전체 결과를 실제로 어떻게 세었는지 말하고, 이웃한 경우에서 한 결과가 몇 번 포함되는지 표시하게 한다. A와 B가 이웃하면 두 사람을 하나의 묶음으로 볼 수 있지만, 묶음 내부에는 AB와 BA라는 2가지 순서가 있다. 따라서 이웃한 배열은 묶음, C, D를 배열하는 3!에 묶음 내부 순서 2!를 곱한 3!·2!=12가지다. 전체 24가지와 같은 기준으로 비교해야 하므로, A와 B가 이웃하지 않는 배열은 24-12=12가지가 된다. 교사는 식만 제시하지 않고 학생이 후보 배열을 몇 개 골라 원래 조건과 대조하게 한다. 예를 들어 A와 B가 붙어 있는지, C와 D의 순서가 달라도 새로운 배열로 세었는지 직접 표시하면 누락과 중복을 구분할 수 있다. 이 과정에서 문제의 핵심이 선택 결과에 순서가 있는지의 이해인지, 아니면 제한 조건을 계산에 넣지 않은 것인지 확인한다.

수정 풀이를 다른 조건에 다시 적용하기

학생이 직접 24-12=12라고 다시 쓰고, 왜 12를 빼는지 “AB와 BA를 모두 포함한 이웃한 배열”이라고 설명하게 한다. 다른 방식의 확인도 가능하다. A와 B가 차지할 비인접 위치쌍은 세 개이고, 각 위치쌍에서 A와 B의 순서가 2가지이며, C와 D의 순서도 2가지이므로 3·2·2=12가지다. 두 근거가 같은 결과를 가리키는지 대조하면 정답은 12가지임을 확인할 수 있다. 이후 문제 자료만 남기고 풀이와 정답, 유도 표시는 가린 상태에서 “A와 B가 이웃하는 배열 수”를 다시 시작한다. 이 경우에는 A와 B를 한 묶음으로 세어 3!·2!=12가지다. 앞 문제의 여사건과 새 조건을 혼동하지 않고, 이웃하는 경우와 이웃하지 않는 경우를 비교해 근거를 조정하는지가 중요하다. 계산식만 외운 듯하면 작은 목록을 직접 만들어 중복되거나 빠진 배열이 없는지 찾게 한다. 이렇게 확인하면 배움노트 고등수학 수업에서 다루는 배열 문제도 답만 맞히는 데서 그치지 않고, 조건과 세는 기준을 스스로 설명하는 풀이로 이어진다.