산곡동 고등수학과외

검산 결과가 예시 오답인 극댓값 2, 극솟값 −2와 어긋나는 지점은 끝점 x=3의 함수값을 빠뜨렸다는 데 있다. 주어진 문제는 f(x)=x³−3x를 −2≤x≤3에서 살피는 것이므로, 도함수가 0인 점의 주변 극값만 구하는 문제와 구간 전체의 최댓값·최솟값을 구하는 문제를 구별해야 한다. 이렇게 답했다면 먼저 “끝점 x=3의 함수값도 비교했는가?”라고 확인하고, 계산한 값을 정의역 조건과 함께 표시하게 한다.

도함수가 0인 점과 구간의 후보를 나누기

f′(x)=3x²−3=3(x−1)(x+1)이므로 도함수가 0인 점은 x=−1, 1이다. 그러나 이 두 점이 있다는 사실만으로 닫힌 구간의 최댓값과 최솟값이 결정되지는 않는다. 극값은 좌우에서 도함수의 부호가 바뀌는지로 판단하고, 구간의 절대적인 최대·최소는 허용된 내부 후보와 양 끝점의 함수값을 모두 비교한다. 따라서 후보는 −1, 1, −2, 3이며, 각각 주어진 −2≤x≤3에 포함되는지도 확인한다.

값을 직접 계산하고 성립 여부를 대조하기

학생이 네 값을 직접 계산하면 f(−2)=−2, f(−1)=2, f(1)=−2, f(3)=18이다. 이때 숫자만 나열하지 말고 x의 위치, 함수값, 판단을 한 줄씩 대응해 적는다. −1에서는 부호가 +에서 −로 바뀌어 극댓값이 2이고, 1에서는 −에서 +로 바뀌어 극솟값이 −2이다. 하지만 구간 전체에서는 18이 2보다 크므로 최댓값은 18이며 x=3에서 성립한다. 최솟값은 −2이고 x=−2와 x=1에서 함께 성립한다. 증가·감소 구간을 −2부터 −1, −1부터 1, 1부터 3으로 나누어 보면 각 구간 안에서 후보보다 더 높거나 낮은 값이 생기지 않는지도 확인할 수 있다.

풀이를 가린 뒤 같은 개념을 다시 적용하기

다음 점검에서는 교사가 제시한 첫 단계와 유도 표시를 지우고, 문제와 조건만 남긴 상태에서 학생이 후보를 고르는 이유부터 직접 작성하게 한다. 이어 f(x)=x³−3x의 극대·극소와 그 값을 구하는 질문을 제시하면, f′=3(x−1)(x+1)의 부호를 +, −, +로 표시하고 f(−1)=2, f(1)=−2를 대조해야 한다. 이 질문의 정답은 극댓값 2, 극솟값 −2이다. 다만 이는 주변의 극값을 묻는 문제이므로 닫힌 구간 전체의 최대·최소를 묻는 앞 문제와 다르다. 문장만 바뀐 것인지 실제 정의역 조건이 바뀐 것인지 먼저 확인하고, 조건이 달라졌다면 끝점과 허용 범위를 다시 표시한다. 도함수가 0인 점과 극값을 혼동할 때는 부호표와 실제 함수값의 높이를 따로 적게 하며, 마지막에는 풀이와 정답을 가린 채 필수 조건만 남겨 독립적으로 다시 계산하게 한다.