갈산동 고등수학과외

성공 횟수에서 성공 비율로 바뀐 조건부터 확인하기

새로운 상황에서는 이항확률변수 자체는 그대로 두고, 성공 횟수 X를 전체 시행 횟수로 나눈 Y=X/10으로 바꾼다. 따라서 먼저 ‘성공 횟수’와 ‘성공 비율’이 같은 양이 아니라는 점을 표시해야 한다. X가 B(10, 0.2)를 따를 때 Y는 X의 값을 10으로 나눈 변수이므로 평균은 10분의 1배가 되고, 분산은 변환 계수의 제곱인 100분의 1배가 된다. 이 달라진 조건을 확인한 뒤 기본 문제의 기준으로 돌아가 계산하면 혼동을 줄일 수 있다.

기본 문제로 평균과 분산의 기준 세우기

X가 이항분포 B(10, 0.2)를 따른다면, 이는 성공확률이 0.2로 같은 독립시행을 10회 반복했을 때의 성공 횟수이다. 각 시행의 성공 여부와 독립 조건이 유지되어야 이항분포의 식을 사용할 수 있다. 이렇게 답했다면 평균을 2로 구한 뒤 분산도 2라고 적었을 수 있다. 이 오답 하나만으로 원인을 정하지 않고, 먼저 “분산식에 실패확률 1−p가 포함되는가?”라고 확인한다. 이어서 시행 횟수 10, 성공확률 0.2, 실패확률 0.8 중 빠뜨린 값이 있는지, 기대하는 성공 횟수와 특정 성공확률을 혼동했는지 말하게 한다.

교사는 이항분포가 단순히 성공확률만 대입하는 분포가 아니라, 정해진 횟수에서 성공이 몇 번 나타나는지를 다루며 각 배치의 가능성까지 반영한다는 점을 비교한다. 평균은 E(X)=np, 분산은 V(X)=np(1−p)로 따로 적고, 설명에서 멈춘 뒤 학생이 주어진 조건을 식에 직접 이어 쓰게 한다. 학생은 E(X)=10·0.2=2, V(X)=10·0.2·0.8=1.6을 계산한다. X는 0 이상 10 이하인 성공 횟수이므로 평균 2는 범위 안에 있으며, 분산 1.6은 표준편차 √1.6과 다른 값임도 대조한다.

풀이와 정답을 가린 상태에서 비율로 재적용하기

재적용할 때는 ‘X~B(10, 0.2), Y=X/10’이라는 문제와 필요한 조건만 남기고, 앞서 쓴 풀이·정답·유도 표시는 가린다. 학생은 먼저 Y가 성공 비율임을 적고, 평균과 분산의 변환 규칙을 각각 표시한다. 상수배에서는 E(aX)=aE(X), V(aX)=a²V(X)이므로 E(Y)=2/10=0.2, V(Y)=(1/10)²·1.6=1.6/100=0.016이다. 비율의 표준편차는 횟수의 표준편차의 10분의 1이고, 분산은 그 제곱 배율이라는 점까지 확인하면 정답은 평균 0.2, 분산 0.016으로 정리된다.

다음 점검에서는 기본 문제의 정답을 보이지 않은 채 0≤X≤10이라는 경계와, 시행마다 성공확률과 독립성이 유지된다는 조건부터 표시하게 한다. 같은 개념이라도 X는 성공 횟수이고 Y는 성공 비율이라는 차이를 한 문장으로 쓰게 하며, 표현만 바뀐 것인지 실제 조건이 달라진 것인지 구별한다. 이항식만 기계적으로 대입하지 않고 원 상황의 시행 횟수와 확률을 먼저 확인하는 습관이 배움노트 고등수학 수업에서 이어갈 핵심 점검이다.