삼산동 고등수학과외

로그함수의 증가와 볼록성을 함께 판단하는 문제에서 풀이의 순서를 확인해 보자. 대표 문제는 $f(x)=\ln x\;(x>0)$의 증가·감소와 볼록성을 판단하는 것이다. 이렇게 답했다면 어떨까? “$f''<0$이니 감소한다.” 결론만 보면 일계도함수와 이계도함수의 역할이 뒤섞여 있다. 배움노트 고등수학 수업에서는 오답 하나만으로 원인을 정하지 않고, 어느 판단이 빠졌는지 식과 질문으로 다시 확인한다.

먼저 정의역과 두 도함수를 따로 적기

학생에게 “$f'$와 $f''$는 각각 무엇의 변화를 나타내는가?”라고 묻는다. $f(x)=\ln x$는 $x>0$에서만 정의되므로 이 조건을 먼저 남긴다. 그다음 $f'(x)=\frac1x$, $f''(x)=-\frac1{x^2}$를 따로 계산한다. 정의역 $x>0$에서 $\frac1x>0$이므로 함수는 증가한다. 반면 $-\frac1{x^2}<0$은 접선 기울기가 줄어드는 방향, 즉 볼록성에 관한 정보다. 따라서 $f''<0$만으로 감소한다고 말할 수 없다.

오답의 원인을 질문과 표시로 구분하기

이때 “처음 식에서 어느 판단을 사용했는가?”, “증가·감소를 결정하는 식은 무엇인가?”, “볼록성을 결정하는 식은 무엇인가?”를 차례로 묻는다. 학생이 $f'$와 $f''$를 혼동했는지, 도함수가 0인 점만으로 극값이나 변곡점을 단정하는지도 살핀다. 극값은 일계도함수의 부호 변화가 있어야 하며, 변곡점은 이계도함수의 부호가 실제로 바뀌는지 확인해야 한다. 단순히 $f'=0$ 또는 $f''=0$이라고 적는 것만으로 결론을 확정하지 않는다. 학생은 $x>0$에서 $f'(x)>0$, $f''(x)<0$을 직접 표시하고, “증가”와 “위로 볼록”을 각각 어느 부등식에서 얻었는지 연결해 쓴다.

수정 풀이를 가린 조건에 다시 적용하기

학생의 수정 풀이는 “$x>0$에서 $f'(x)=1/x>0$이므로 증가하고, $f''(x)=-1/x^2<0$이므로 위로 볼록하다”가 된다. 함숫값은 오른쪽으로 갈수록 커지지만 접선의 기울기는 줄어든다는 두 사실도 함께 대조하면 정답인 증가, 위로 볼록과 맞는다. 이후 문제와 $x\in\mathbb R$이라는 조건만 남기고 풀이·정답·유도 표시는 가린 채 $f(x)=e^{-x}$를 다시 시작한다. 같은 판단 순서를 적용하면 $f'(x)=-e^{-x}<0$, $f''(x)=e^{-x}>0$이므로 감소하며 아래로 볼록하다. 음의 기울기가 점차 0에 가까워지는 그래프 방향도 이 결론과 일치한다. 표현만 바꾼 문제가 아니라 함수와 조건이 바뀐 경우에도 일계·이계도함수의 부호를 분리해 판단하는지 확인한다. 기본 문제의 답을 기억한 것인지 구별하려면 새 식에서 계산, 부호 표시, 결론의 근거를 학생이 직접 남기게 한다.