안락동 고등수학과외

부분합이 오가는 새 조건부터 확인하기

먼저 새로운 예시로 1−1+1−1+…의 수렴 여부를 판단해 보자. 이때 괄호를 임의로 묶어 값을 정하지 않고, 원래 순서대로 부분합을 계산해야 한다. S₁=1, S₂=0, S₃=1, S₄=0이므로 부분합은 1과 0 사이를 계속 오간다. 어떤 한 값에 가까워지지 않으므로 이 급수는 발산한다. 여기서 중요한 기준은 항이 단순히 작아지는지보다 부분합이 하나의 값으로 수렴하는지 확인하는 것이다. 배움노트 고등수학 수업에서는 새 문제의 조건이 기본 문제와 어떻게 달라졌는지 먼저 한 문장으로 적게 한다. 이 문제는 부분합이 커지는 경우가 아니라 두 값 사이에서 진동하는 경우라는 점이 다르다.

수렴하지 않는 공비에서 공식의 적용 범위 세우기

이제 기본 문제인 Σ(n=1부터 ∞까지)2^(n−1)로 돌아간다. 첫 항은 1, 공비는 2이므로 등비급수 합 공식 a/(1−r)를 바로 적용해 1/(1−2)=−1이라고 하면 안 된다. 공식은 첫 항이 0이 아닌 등비급수에서 |r|<1일 때만 성립한다. 공비의 절댓값이 2로 조건을 벗어났으므로, 계산 결과가 나왔다는 이유만으로 합이라고 부를 수 없다. 양수인 항을 계속 더한 급수의 합이 음수가 될 수 있는지 먼저 묻고, 일반항 2^(n−1)이 0으로 가는지도 직접 확인한다. 일반항이 0이 되지 않는다는 사실만으로도 급수의 수렴 가능성은 사라진다. 다만 최종 판단은 부분합의 거동까지 연결해 확인한다.

부분합으로 수정 풀이와 다음 점검 이어가기

학생이 직접 Sₙ=1+2+2²+⋯+2^(n−1)=2ⁿ−1을 세우면, n이 커질수록 부분합은 제한 없이 커진다. 따라서 이 급수는 발산하며 유한한 합이 없다. 앞의 잘못된 값 −1은 실제 급수의 합이 아니라 수렴 조건을 확인하지 않은 식의 결과일 뿐이다. 검산할 때에는 일반항이 0으로 가지 않는 점과 부분합 Sₙ=2ⁿ−1의 증가를 각각 표시해 결론을 대조한다. 이후에는 문제와 조건만 남기고 풀이와 정답은 가린 상태에서 다시 시작한다. 먼저 “|r|<1인가?”를 표시하고, 이어 부분합의 일반식을 세운 뒤 수렴 여부를 판단한다. 같은 개념이라도 부분합이 계속 커지는 경우와 1, 0처럼 번갈아 바뀌는 경우는 발산의 모습이 다르다. 다음 점검에서는 공식값을 쓰기 전에 공비의 범위, 일반항의 극한, 부분합의 극한을 순서대로 직접 적게 한다.