명륜동 고등수학과외

“1−(1/2)³=7/8.” 이 식은 공정한 동전을 독립적으로 세 번 던질 때 앞면이 적어도 한 번 나올 확률을 구한 수정 풀이이다. 결과만 받아들이기보다, 처음에 왜 3/8이라고 답했는지와 어떤 확인을 거쳐 식을 바꾸었는지를 함께 살펴보면 확률의 덧셈과 여사건을 더 정확히 사용할 수 있다.

정확히 한 번과 적어도 한 번을 구분하는 질문

처음 풀이를 “정확히 한 번의 확률은 3/8”이라고 적었다면, 먼저 “‘적어도 한 번’에는 두 번과 세 번도 포함되는가?”라고 묻는다. 앞면이 정확히 한 번인 경우는 앞뒤뒤, 뒤앞뒤, 뒤뒤앞뿐이지만, 적어도 한 번에는 앞면이 두 번인 경우와 세 번인 경우도 들어간다. 따라서 정확히 한 번의 확률을 구한 뒤 그것을 전체 답으로 삼았다면 포함해야 할 결과를 빠뜨린 셈이다.

이때 오답 하나만으로 원인을 확정하지 않는다. 세 번의 동전 결과를 앞면과 뒷면의 순서가 있는 목록으로 직접 적어 보게 하고, 각 결과가 같은 가능성을 갖는지 확인한다. 공정한 동전을 독립적으로 세 번 던지면 표본공간은 앞앞앞부터 뒤뒤뒤까지 모두 8개의 근원사건으로 이루어진다. 원하는 사건과 전체를 같은 기준으로 세었는지, 서로 다른 사건을 겹쳐 세지는 않았는지, 여사건을 잘못 고르지는 않았는지를 차례로 점검한다.

뒤집어 세어 식의 뜻과 조건 확인하기

‘적어도 한 번 앞면’의 여사건은 ‘앞면이 한 번도 나오지 않음’이다. 세 번 모두 뒤면인 결과 하나뿐이므로 그 확률은 (1/2)×(1/2)×(1/2)=(1/2)³이다. 따라서 원하는 확률은 1−(1/2)³=7/8이다. 여기서 1/2를 세 번 곱할 수 있는 근거는 동전이 공정하고 각 시행이 독립적이라는 조건이다. 공정하지 않거나 시행 사이에 영향이 있다면 같은 식을 그대로 사용할 수 없다.

학생은 설명을 들은 뒤 계산 결과뿐 아니라 성립 조건도 직접 적는다. 이어 앞면이 한 번인 결과 3개, 두 번인 결과 3개, 세 번인 결과 1개를 표시해 모두 7개임을 확인한다. 같은 표본공간에서 7개/8개가 되어 여사건을 이용한 7/8과 일치하는지 대조하면, 식의 의미와 검산이 함께 드러난다.

표현을 바꾼 문제에서 다시 검증하기

이제 대표 문제의 풀이와 정답 문장을 가린 상태에서, 문제와 조건만 남겨 다시 시작한다. “공정한 동전을 독립적으로 세 번 던진다. 앞면이 정확히 한 번 나올 확률을 구하라.”라는 문제에서는 ‘적어도 한 번’과 사건 자체가 달라진다. 앞면이 나올 자리를 세 곳 중 하나로 선택하고 나머지 두 번은 뒤로 고정하므로 해당 결과는 앞뒤뒤, 뒤앞뒤, 뒤뒤앞 세 가지다. 각 결과의 확률이 1/8이므로 3×(1/2)³=3/8이다.

마지막으로 학생이 3/8을 적은 뒤 세 결과를 직접 표시하는지 확인한다. 표현만 바뀐 문제가 아니라 ‘적어도 한 번’에서 ‘정확히 한 번’으로 조건이 실제로 달라졌다는 점을 말할 수 있어야 한다. 가능성의 단위를 섞지 않도록 결과를 목록으로 통일하고, 다음 점검에서도 풀이·정답·유도 표시를 가린 채 조건, 계산, 검산을 순서대로 다시 적게 한다.