명장동 고등수학과외

답을 가린 재시도에서 두 끝점의 위치 묻기

기하 문제의 답과 풀이를 가린 채 A(1,2,0), B(1,2,5)를 잇는 선분을 xy평면에 정사영하는 장면에서 시작한다. 먼저 “두 끝점의 사영이 서로 다른 점인가?”라고 묻고, 그림의 모양만 보고 판단하지 않도록 각 점에서 xy평면에 내린 수선의 발을 직접 표시하게 한다. 이렇게 답했다면 “공간에서 원래 선분의 길이가 5이므로 사영 길이도 5”라는 설명이 나올 수 있다. 그러나 정사영은 대상 평면에 수직인 방향으로 내린 발들의 모임이므로, 원래 길이와 사영 길이가 항상 같지는 않다. 길이와 넓이의 배율을 혼동했는지도 함께 확인하되, 오답 하나만으로 원인을 단정하지 않는다.

수선의 발을 식으로 표시하고 조건과 대조하기

xy평면은 z=0으로 나타내며, 점 A에서 평면에 내린 수선의 발은 A′=(1,2,0), 점 B에서 내린 수선의 발은 B′=(1,2,0)이다. 두 발이 같은 점이므로 정사영된 선분은 한 점으로 겹친다. 따라서 사영 길이는 A′B′=0이다. 학생이 후보 답을 고른 뒤에는 원래 선분이 평면에 수직인지, 평면 방향 성분이 있는지를 직접 비교하게 한다. 실제로 A와 B는 x, y좌표가 같고 z좌표만 다르므로 선분 AB는 xy평면에 수직이다. 이 조건에서는 평면 안으로 향하는 성분이 없기 때문에 사영 길이가 0이 된다. 반대로 도함수나 그림의 인상처럼 단순한 한 가지 단서만으로 결론을 내리는 것이 아니라, 정의에 맞는 점과 식을 함께 확인해야 한다. 두 직선이 만나지 않는다는 이유만으로 평행이라고 할 수 없는 것처럼, 공간도형에서는 위치 관계를 좌표와 조건으로 구별해야 한다.

조건을 남긴 채 다른 좌표에서 다시 적용하기

이제 문제와 조건만 남기고 풀이·정답·유도 표시는 가린 상태에서 A(0,0,0), B(3,4,12)를 잇는 선분을 xy평면에 정사영하는 문제를 다시 시작한다. 먼저 두 끝점을 각각 정사영하여 A′=(0,0,0), B′=(3,4,0)을 얻고, 사영 선분의 길이를 √{(3-0)²+(4-0)²}=5로 계산한다. 원래 선분의 길이는 √(3²+4²+12²)=13이며, 평면 방향 성분 5와 수직 성분 12가 5²+12²=13²을 만족하므로 부분 검산도 가능하다. 앞 문제와 답이 달라진 까닭은 표현만 바뀐 것이 아니라 원래 선분이 xy평면에 수직이라는 조건이 사라지고 x, y 방향 성분이 생겼기 때문이다. 배움노트 고등수학 수업에서 확인할 핵심은 숫자나 답을 외우는 일이 아니라, 두 끝점의 수선의 발을 먼저 구하고 그 두 점이 같은지 다른지를 판단하는 과정이다. 다음 재시도에서는 “각 끝점의 사영 좌표는 무엇인가?”, “원래 선분에 평면 방향 성분이 있는가?”라는 질문만 남겨 학생이 필요한 식을 처음부터 세우게 한다. 표현이 달라진 문제와 조건 자체가 달라진 문제를 구별해 계산과 근거를 함께 대조하면, 정사영을 추측하지 않고 좌표와 정의로 해결할 수 있다.