서원구 고등수학과외

입력마다 출력 하나라는 설명에서 조건 찾기

일대일성의 부호 범위를 다루는 수업에서는 먼저 조건이 표시되지 않은 예시 풀이를 살펴본다. 문제는 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^2$가 일대일함수인지 판단하는 것이다. 이렇게 답했다면 “입력마다 출력 하나가 나오므로 일대일함수”라고 쓸 수 있지만, 이는 함수가 되기 위한 조건과 일대일함수의 조건을 섞은 설명이다. 함수는 정의역의 각 입력에 하나의 출력이 정해지는지를 확인하고, 일대일함수는 서로 다른 두 입력이 서로 다른 출력을 내는지를 추가로 확인해야 한다.

배움노트 고등수학 수업에서는 오답 하나만 보고 원인을 단정하지 않는다. 이 설명이 함수의 조건을 일대일의 조건과 같다고 생각한 결과인지, 또는 음수 입력을 빠뜨려서 생긴 판단인지 짧은 질문으로 구분한다. “$f(1)$과 $f(-1)$을 비교하면 입력도 같아야 하는가?”라고 묻고, 학생이 정의역 안에서 두 입력을 직접 표시하게 한다. 이때 일대일대응은 일대일성뿐 아니라 치역이 공역 전체인지도 함께 살펴야 한다는 점도 구분해 둔다.

서로 다른 입력의 같은 출력으로 반례 완성하기

학생이 $1\ne-1$을 확인한 뒤 직접 값을 계산하면 $f(1)=1^2=1$, $f(-1)=(-1)^2=1$이다. 서로 다른 두 입력이 같은 출력으로 이어졌으므로 일대일성의 조건을 만족하지 않는다. 따라서 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^2$는 일대일함수가 아니다. 여기서 중요한 것은 특정 수를 대입했다는 사실보다, 정의역에 실제로 포함된 서로 다른 두 입력이 같은 출력을 만든다는 반례의 구조다. 교사는 중간 계산을 함께 확인하되 최종 판단 문장은 학생이 직접 쓰게 한다.

만약 학생이 여전히 “출력이 하나씩 정해지면 일대일”이라고 말한다면, 함수 조건과 일대일 조건을 나란히 적는다. $x_1\ne x_2$일 때 반드시 $f(x_1)\ne f(x_2)$여야 하는지 묻고, 정의역 안에서 같은 출력이 가능한 입력을 다시 찾는다. 반대로 음수 입력을 제외하면 결론이 달라지는지도 확인하여, 식 자체와 정의역의 범위를 따로 읽도록 한다.

범위를 복원한 뒤 정답과 검산 대조하기

이제 문제와 필요한 수치만 남기고 풀이와 정답을 가린 상태에서 $f:[0,\infty)\to[0,\infty)$, $f(x)=x^2$가 일대일대응인지 판단하게 한다. 먼저 $0\le x_1<x_2$이면 $x_2^2-x_1^2=(x_2-x_1)(x_2+x_1)>0$이므로 제곱값이 엄격히 커진다는 점을 직접 적는다. 따라서 $x_1^2=x_2^2$이고 두 입력이 모두 비음수라면 $x_1=x_2$이고, 일대일성이 성립한다.

치역도 확인한다. 임의의 $y\ge0$에 대해 $x=\sqrt y$는 정의역에 있고 $x^2=y$를 만족하므로 모든 공역의 값이 만들어진다. 입력의 유일성은 앞의 일대일성으로 보장된다. 따라서 이 제한된 함수는 일대일대응이다. 학생은 “$x_1^2=x_2^2$, $x_1,x_2\ge0$이면 $x_1=x_2$”와 “모든 $y\ge0$은 $\sqrt y$에서 나온다”를 각각 검산한 뒤 정답을 문장으로 완성한다.

마지막에는 같은 문제의 표현만 바꾼 것과 정의역을 실제로 바꾼 것을 구별하게 한다. 처음 문제의 모든 실수 범위에서는 $1,-1$이 반례가 되지만, 비음수 범위에서는 그 반례가 정의역에 들어오지 않는다. 다음 점검에서는 해설을 가린 채 먼저 $f(1)$과 $f(-1)$을 비교하고, 이어 정의역의 부호를 표시한 뒤 일대일성, 치역, 일대일대응 여부를 순서대로 스스로 적게 한다.