흥덕구 고등수학과외

“0.6으로 추정하지만 확정하지 않는다”는 뜻

표본비율 0.6을 모비율의 추정값으로 사용할 수 있지만, 모비율을 정확히 0.6이라고 확정할 수는 없다. 전체 유권자 가운데 찬성 비율을 알아보기 위해 400명을 임의추출하고 그중 240명이 찬성했다면, 먼저 표본에서 관측된 값을 계산한다. 표본비율은 240÷400=0.6이다. 그러나 이 400명은 모집단 전체가 아니라 일부이므로, 이 결과만으로 모든 유권자의 찬성 비율을 확정할 수 없다. 다른 표본을 뽑았을 때에도 찬성자가 반드시 240명일지 묻는다면 표본 요약값과 모집단의 실제 비율이 다를 수 있음을 확인할 수 있다.

오답의 판단을 질문과 계산으로 확인하기

이렇게 답했다면 “240/400=0.6이므로 모든 유권자의 찬성 비율도 정확히 0.6”이라는 계산 자체와 결론을 나누어 살핀다. 240÷400이라는 식은 맞지만, 그 값이 무엇을 나타내는지 표시하지 않은 것이 문제다. 학생은 식 옆에 ‘표본비율’이라고 직접 적고, 모집단 전체를 조사한 값인지 대조해야 한다. 또한 표본 크기 400은 표본비율을 계산하는 분모이면서 추정의 정밀도와 관련된 조건이지, 모비율을 알려 주는 값은 아니다. 표본평균이나 표본비율은 표본마다 달라질 수 있으므로, 표본에서 얻은 한 수치를 모집단의 확정된 모수로 읽지 않도록 한다. 표본 추출이 임의로 이루어졌는지, 추정하려는 대상이 전체 유권자의 모비율인지도 문장으로 확인한다. 한 수치로 추정하는 것과 표본 크기를 반영해 구간으로 추정하는 것은 같은 목적을 향하지만 결과의 표현이 다르다.

조건을 남긴 채 다시 계산하고 비교하기

다음에는 ‘임의추출한 400명 중 240명이 찬성’이라는 문제와 필요한 수치만 남기고, 풀이·정답·유도 표시를 가린 상태에서 시작한다. 학생은 먼저 p̂=240/400=0.6을 쓰고, ‘모비율은 확정할 수 없음’이라고 적은 뒤 그 근거를 모집단 전체가 아닌 표본 조사였기 때문이라고 대조한다. 이어 큰 표본 근사를 사용할 수 있는지 성공 240명과 실패 160명이 충분한지 확인하고, 95% 신뢰구간을 p̂±1.96√[p̂(1−p̂)/n]으로 계산한다. √[0.6×0.4/400]=√0.0006≈0.024495, 반폭은 약 1.96×0.024495≈0.04801이므로 구간은 0.6±0.04801, 즉 소수 셋째 자리까지 약 [0.552, 0.648]이다. 이는 모비율이 반드시 이 구간 안에 있다는 단정이 아니라, 주어진 추정 절차로 모비율을 구간 추정한 결과다. 같은 문제의 숫자나 문장만 바꾼 경우에는 표현 변경으로 보고, 표본 추출 방법이나 표본 크기처럼 조건이 달라진 경우에는 성립 조건을 새로 확인한다. 마지막으로 답과 검산 문장을 가린 채 계산값, 모비율과 표본비율의 구분, 근사의 조건을 각각 다시 적게 하여 추정과 확정을 혼동하지 않는지 확인한다.