갈산동 수학과외

70°라는 답에서 확인할 판단

다음 문제에서 학생이 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. 삼각형 ABC에서 ∠A=30°, ∠B=80°이고, 변 BC를 C 너머의 점 D까지 연장했을 때 외각 ∠ACD를 구하는 문제입니다. 학생은 “70°다.”라고 답했습니다. 이 값은 외각의 크기가 아니라 먼저 삼각형의 세 내각의 합을 이용해 구할 수 있는 ∠ACB의 크기입니다. 따라서 답이 틀렸다는 사실과 학생이 왜 70°를 선택했는지는 나누어 살펴봐야 합니다. 외각을 구해야 한다는 요구를 놓쳤는지, ∠ACB와 ∠ACD를 같은 각으로 보았는지, 또는 계산 과정에서 혼동했는지를 풀이의 순서와 설명을 통해 확인합니다.

교사는 곧바로 원인을 단정하지 않고 “70°는 삼각형 안쪽의 어느 각을 나타내나요?”, “문제에서 최종적으로 구하라는 각은 어디에 있나요?”라고 묻습니다. 학생이 말로 설명하기 어렵다면 삼각형의 안쪽 각과 C에서 바깥으로 벌어진 각을 함께 짚으며 한 단계씩 확인합니다. 이때 필요한 개념은 삼각형의 세 내각의 합이 180°라는 것과, B·C·D가 한 직선 위에 있어 ∠ACB와 ∠ACD가 이웃한 두 각이라는 사실입니다.

외각과 이웃 내각을 구별하며 다시 풀기

교사는 먼저 ∠ACB를 구하는 단계까지만 함께 풀어 줍니다. 삼각형 ABC의 세 내각의 합이 180°이므로 ∠ACB=180°-30°-80°=70°입니다. 여기서 70°는 문제에서 직접 물은 외각이 아니라 삼각형 내부의 각이라는 점을 분명히 합니다. 이어서 학생이 C에서 D 방향으로 이어지는 직선을 확인하도록 하고, ∠ACB와 ∠ACD가 일직선 위의 이웃한 각임을 연결합니다.

학생은 처음의 “70°다.”라는 결론에서, 70°를 최종 답으로 쓰지 않고 먼저 ∠ACB의 값으로 해석하도록 풀이를 고칩니다. 두 이웃한 각의 합은 180°이므로 ∠ACD=180°-70°=110°입니다. 또는 외각은 이웃하지 않은 두 내각의 합과 같다는 성질을 바로 적용해 ∠ACD=∠A+∠B=30°+80°=110°이라고 풀 수도 있습니다. 이 문제에서는 삼각형의 외각이 한 내각과 이웃하고, 나머지 두 내각의 합과 같다는 관계가 조건에 맞게 사용됩니다.

조건에 대입해 결과를 확인하는 방법

수정한 풀이가 맞는지 같은 계산을 그대로 반복하기보다 원래 조건 사이의 관계로 확인합니다. 이미 구한 ∠ACB=70°와 외각 ∠ACD=110°는 C에서 한 직선 위에 놓인 이웃한 각이므로 70°+110°=180°을 만족합니다. 따라서 외각을 110°로 구한 결과는 직선각의 조건과도 일치합니다. 풀이 순서를 따라 적는 데 그치지 않도록, 교사는 수정 풀이와 정답을 가린 뒤 문제의 조건만 보고 학생이 다시 ∠ACB와 ∠ACD를 구하게 합니다. 학생이 막히면 개념 설명이 필요한지, 180°에서 빼는 계산 단계가 어려운지 나누어 보고 도움의 정도를 조절합니다. 다른 방법을 사용하더라도 주어진 각과 직선 위의 관계를 정확히 사용했다면 같은 답으로 연결되는지 확인합니다.

새 외각 문제에 적용하고 다음 판단 확인하기

새 문제에서는 삼각형 ABC의 ∠A=25°이고, BC를 C 너머 D까지 연장한 외각 ∠ACD=120°라고 하겠습니다. 이번에는 외각과 ∠A의 값이 주어지고 ∠B를 구해야 합니다. 외각은 이웃하지 않은 두 내각의 합이므로 120°=25°+∠B이고, 따라서 ∠B=95°입니다. 실제로 ∠C는 180°-120°=60°이며, 25°+95°+60°=180°이므로 조건에 맞습니다. 이전 문제와 숫자만 비교하지 말고, 외각이 어느 두 내각의 합으로 표현되는지 확인하는 것이 핵심입니다.

필요하다면 삼각형 ABC에서 ∠A=30°, ∠B=50°인 비교 문제를 선택할 수 있습니다. 이때 ∠ACB=100°이고 외각 ∠ACD=80°이므로 두 각은 같지 않습니다. 서로 일직선 위의 이웃한 각이라 합이 180°일 뿐, 항상 같은 것은 아닙니다. 다음 수업에서는 학생이 대표 풀이를 가린 상태에서 조건과 구할 값을 먼저 구분하고, 새 외각 문제에서도 근거를 설명하며 해결하는지를 확인합니다.