청천동 수학과외

두 입력에 규칙이 있어도 함수가 되는 것은 아닙니다

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. 입력집합이 {1, 2, 3}이고, 1→a, 2→b라는 대응만 주어졌을 때 이 대응이 함수인지 묻는 문제입니다. 학생은 “두 입력에 규칙이 있어 함수다.”라고 답했습니다. 1과 2가 각각 하나의 출력과 연결되어 있다는 점은 확인했지만, 문제에서 정한 입력집합의 모든 원소를 살피지는 않은 답입니다.

함수인지 판단할 때 중요한 조건은 입력 하나에 출력이 하나로 정해지는지입니다. 이 조건은 일부 입력만 확인하면 충분하다는 뜻이 아닙니다. 주어진 정의역의 각 원소에 대해 출력이 하나씩 정해져 있어야 합니다. 따라서 1의 출력이 a이고 2의 출력이 b라는 사실만으로는 결론을 내릴 수 없습니다. 입력 3에 대응하는 출력이 주어졌는지까지 확인해야 합니다.

오답이 나온 판단을 조건별로 다시 확인하기

교사는 먼저 “두 입력에 규칙이 있다고 판단한 이유가 무엇인지” 묻고, 학생이 함수의 조건을 일부 입력에만 적용한 것인지, 문제의 정의역을 1과 2로 잘못 읽은 것인지 나누어 살핍니다. 학생이 이유를 바로 설명하지 못하더라도 1과 2의 대응을 함께 확인한 뒤 “정의역에 3도 포함되어 있는데, 3의 출력은 어디에 정해져 있지?”라고 한 단계씩 질문할 수 있습니다.

이 질문은 계산을 요구하는 것이 아니라 입력과 출력을 구별하는 확인입니다. 입력은 1, 2, 3 전체이고, a와 b는 각각 1과 2에 대응하는 출력입니다. 3에 출력이 없다는 사실을 확인하면, 처음 답에서 바꾸어야 할 판단은 ‘두 입력에 규칙이 있으므로 함수’라는 부분입니다. 두 입력의 대응이 정해진 것과 정의역 전체에서 함수가 완성된 것은 같은 말이 아닙니다.

정의역의 모든 원소를 확인하며 수정 풀이하기

교사는 대표 문제의 조건에서 먼저 정의역 {1, 2, 3}을 짚고, 각 원소 옆에 출력이 하나씩 정해졌는지 차례로 확인합니다. 1에는 a가 정해져 있고 2에는 b가 정해져 있지만, 3에는 출력이 없습니다. 함수는 입력 하나에 출력 하나가 정해지는 관계이므로, 3에 출력이 빠진 현재 대응은 함수가 아닙니다.

학생은 교사가 확인한 순서를 이용해 문제를 다시 풉니다. “1은 a로, 2는 b로 정해졌지만 정의역에 있는 3의 출력이 없다. 모든 입력에 출력 하나가 정해져야 하므로 이 대응은 함수가 아니다.”라고 결론을 고칩니다. 여기서 3의 출력이 반드시 a나 b여야 한다고 정할 수는 없습니다. 어떤 출력인지 주어지지 않았기 때문에, 현재는 출력이 빠져 있다는 사실까지만 확정할 수 있습니다.

조건에 대입해 확인하고 새 대응에 적용하기

검산할 때는 같은 문장을 반복하기보다 정의역의 원소를 다시 대입해 봅니다. 1과 2는 각각 출력이 하나씩 있지만, 3을 넣으면 대응되는 출력이 나타나지 않습니다. 따라서 ‘정의역의 모든 원소에 출력 하나가 있어야 한다’는 조건을 만족하지 못한다는 결론이 원래 조건과도 일치합니다. 풀이 순서를 외워 쓴 경우에는 문제와 조건만 보이게 하고 앞서 적은 풀이와 정답을 가린 뒤, 학생이 1, 2, 3을 다시 차례로 확인하게 합니다.

이제 정의역이 {1, 2, 3}으로 정해져 있고 1과 2의 출력만 정해진 경우, 함수가 완성되었는지 다시 묻습니다. 학생은 3에도 출력 하나를 정해야 완성된다고 판단해야 합니다. 이후 추가로 “3의 출력이 없으니 3을 정의역에서 지우고 함수라고 해도 되는가?”를 비교할 수 있습니다. 주어진 정의역을 유지하면 함수가 아니며, 3을 지우면 처음과 다른 정의역을 정한 것이므로 원래 문제의 결론을 바꿀 수 없습니다.

다음 수업에서는 학생이 특정 답을 기억했는지만 보지 않고, 새로운 대응에서 정의역의 모든 원소를 확인하는지 살핍니다. 수정 풀이를 가린 상태에서 같은 문제를 다시 해결하고, 왜 3의 출력이 필요한지 말로 설명하며, 정의역이 달라진 비교 문제에도 조건을 구분해 적용하는지를 다음 확인 기준으로 삼을 수 있습니다.