삼산동 수학과외

덧셈으로 바뀐 소인수분해 풀이

다음 문제에서 학생이 2²×3³으로 소인수분해되는 자연수를 구하라는 질문에 “2×2+3×3×3=31이다”라고 답했다고 가정해 보겠습니다. 2×2+3×3×3을 계산한 31이라는 수 자체는 4+27의 결과이지만, 문제의 조건에 맞는 식은 아닙니다. 소인수분해에서 2²와 3³은 각각 같은 소수를 거듭제곱한 묶음이고, 이 두 묶음을 더하라는 뜻이 아니라 곱하여 원래 자연수를 나타내라는 뜻이기 때문입니다.

교사는 먼저 “왜 두 값을 더했을까?”라고 묻고, 학생이 문제에서 요구한 것이 두 계산값의 합인지, 소인수의 곱으로 이루어진 수인지 구분해 보게 합니다. 학생이 이유를 말하기 어렵다면 2²가 2×2, 3³이 3×3×3을 뜻한다는 부분을 함께 확인한 뒤, 두 묶음을 연결할 때 어떤 연산 기호가 필요한지 한 단계씩 살핍니다.

소인수의 거듭제곱을 원래 수로 복원하기

교사는 소인수분해의 식을 다시 읽습니다. 2²는 소수 2를 두 번 곱한 4이고, 3³은 소수 3을 세 번 곱한 27입니다. 따라서 주어진 표현은 4와 27을 더하는 식이 아니라 4와 27을 곱하는 식으로 해석해야 합니다. 이때 2와 3은 소인수이고, 지수 2와 3은 각각 그 소수를 몇 번 곱하는지를 나타냅니다. 소인수분해된 표현을 자연수로 되돌리는 문제이므로 계산은 2²×3³=4×27=108이 됩니다.

설명을 들은 학생은 처음의 덧셈을 그대로 반복하지 않고, 문제의 곱셈 기호를 확인한 뒤 “2²와 3³을 각각 계산한 다음 더하는 것이 아니라, 두 결과를 곱해야 한다”고 판단을 바꿉니다. 이후 2×2=4, 3×3×3=27을 구하고 4×27=108까지 직접 이어서 답합니다. 핵심은 표시를 남기는 데서 끝나지 않고, 바뀐 연산이 문제의 조건과 어떻게 연결되는지 설명하며 정답을 완성하는 것입니다.

조건에 대입해 결과를 확인하는 과정

풀이를 마친 뒤에는 같은 식을 무작정 다시 쓰기보다 108이 두 소인수 묶음을 제대로 포함하는지 확인합니다. 108÷27=4이고 108÷4=27이므로, 108은 2²에 해당하는 4와 3³에 해당하는 27의 곱으로 돌아갑니다. 따라서 108=2²×3³이라는 표현이 원래 조건과 맞습니다. 학생이 풀이 순서를 따라 쓴 것처럼 보이면 수정 풀이와 정답을 가린 상태에서 같은 문제를 다시 제시하고, 먼저 연산 기호와 거듭제곱의 뜻을 확인한 뒤 답을 구성하게 합니다. 혼자 막히면 개념 이해와 계산 중 어느 단계에서 어려움이 생겼는지 살펴 도움의 양을 조절합니다.

새 소인수분해와 지수 비교로 이어가기

새 문제로 소인수분해가 2²×3×7인 자연수를 구하게 할 수 있습니다. 이전 문제와 마찬가지로 각 소인수 묶음을 곱하되, 이번에는 3과 7의 지수가 1이므로 2²×3×7=4×3×7=84입니다. 숫자와 소인수의 개수는 달라졌지만, 거듭제곱을 실제 곱셈으로 바꾸고 모든 묶음을 곱한다는 판단은 이어집니다.

추가로 “소인수의 종류가 같으면 두 수는 같다”는 설명이 항상 맞는지 확인할 때는 96과 192를 비교할 수 있습니다. 96=2⁵×3, 192=2⁶×3이므로 두 수 모두 소인수의 종류는 2와 3으로 같지만 지수가 달라 서로 다른 수입니다. 다음 수업에서는 학생이 기본 문제와 새 문제를 풀이와 정답을 가린 상태에서 다시 해결하는지, 곱셈을 선택한 이유와 지수의 뜻을 설명하는지, 지수가 달라졌을 때 결과도 달라진다는 점을 적용하는지를 확인합니다.