대구북구 수학과외

구간 안에서 최댓값을 먼저 확인하기

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. -3≤x≤-1에서 y=x²+2의 최댓값은? 학생은 “x=-1에서 3이다.”라고 답했습니다. x=-1을 식에 대입하면 y=(-1)²+2=3이므로 계산 자체는 맞지만, 문제에서 묻는 것은 x=-1에서의 값이 아니라 주어진 구간 전체에서 가장 큰 값입니다.

이 문제의 함수 y=x²+2의 꼭짓점은 (0, 2)입니다. 하지만 x의 범위가 -3≤x≤-1이므로 꼭짓점의 x좌표 0은 구간에 포함되지 않습니다. 따라서 꼭짓점의 함수값을 최댓값으로 정할 수 없고, 이 음수 구간에서 x²이 어떻게 변하는지 확인해야 합니다. 음수에서는 x가 원점에서 멀수록 절댓값이 크며, 제곱값도 커집니다. 그러므로 -3과 -1 중 원점에서 더 먼 -3에서 최댓값이 나올 가능성이 큽니다.

오답의 원인을 풀이 과정에서 구분하기

교사는 처음부터 학생의 오답을 특정 개념의 문제라고 단정하지 않고, “왜 -1을 선택했는지”, “문제가 요구하는 값이 x=-1에서의 함수값인지, 구간에서 가장 큰 함수값인지”를 차례로 묻습니다. 학생이 꼭짓점의 위치와 구간의 관계는 설명하지만 끝점 선택에서 틀렸다면, 개념을 전혀 모른다기보다 구간 조건을 최댓값 판단에 연결하는 과정에서 어려움이 있었을 수 있습니다. 반대로 식에 -1을 넣는 과정부터 달라졌다면 계산 또는 부호 처리를 먼저 확인합니다.

학생이 이유를 바로 설명하지 못하더라도 교사는 x=-3과 x=-1을 각각 대입해 두 값이 어떻게 달라지는지 함께 살펴볼 수 있습니다. 이때 단순히 답을 알려 주는 것이 아니라, “두 x값 중 원점에서 더 먼 값은 무엇인가?”, “음수의 크기와 수의 대소는 같은 뜻인가?”를 짚어 음수 입력의 대소와 절댓값의 크기를 나누어 생각하게 합니다.

조건을 반영해 수정 풀이 다시 구성하기

학생은 처음의 “x=-1에서 3이다.”라는 판단을, 최댓값을 구하려면 구간에 들어 있는 값들을 비교해야 한다는 판단으로 고칩니다. 먼저 구간의 양 끝 x=-3, -1을 확인합니다. x=-3에서는 y=(-3)²+2=9+2=11이고, x=-1에서는 y=(-1)²+2=1+2=3입니다. 두 끝점의 함수값은 각각 11과 3이므로 이 문제의 최댓값은 11입니다.

이 결론은 “음수에서는 x가 클수록 항상 x²이 작다”라는 문장을 모든 함수에 적용해서 얻은 것이 아닙니다. 여기서는 y=x²+2이고, 구간이 원점 왼쪽의 -3≤x≤-1로 정해져 있기 때문에 x가 -3에서 -1로 증가할수록 원점에 가까워지고 x²이 감소합니다. 학생은 수정 풀이를 말로만 표시하지 않고, 두 끝점의 대입식과 결과를 직접 적은 뒤 “-3이 -1보다 작은 수이지만 원점에서 더 멀어서 제곱값은 더 크다”고 설명하며 답까지 완성합니다.

검산과 새 조건에서의 적용

검산할 때는 같은 풀이를 그대로 반복하기보다 끝점의 결과 11과 3을 다시 비교하고, 해당 음수 구간에서 x²이 감소한다는 조건을 함께 확인합니다. 풀이와 정답을 가린 상태에서 학생이 문제의 조건만 보고 다시 시작하게 하면, 꼭짓점이 구간에 포함되는지 먼저 살피는지, x=-3과 x=-1을 비교하는지, 최종적으로 함수의 최댓값을 11이라고 구하는지를 확인할 수 있습니다. 혼자 막히면 개념 설명이 필요한지, 대입과 계산에서 어려움을 겪는지에 따라 도움의 양을 조절합니다.

다음 적용 문제로 -5≤x≤-2에서 y=x²의 최댓값을 제시할 수 있습니다. 기본 문제와 달리 상수항이 없지만, 역시 음수 구간이므로 원점에서 더 먼 x=-5에서 최댓값이 나옵니다. y=(-5)²=25이고, x=-2에서는 y=(-2)²=4이므로 최댓값은 25입니다. 이후 선택적으로 -4≤x≤-2에서 y=x²+1을 비교하면 x=-4에서 17, x=-2에서 5가 됩니다. 이 과정을 통해 학생이 단순히 숫자를 외우는지, 아니면 구간과 원점까지의 거리, 제곱값의 관계를 새 조건에서도 설명하는지 다음 확인을 이어 갈 수 있습니다.