대구중구 수학과외

짝수라는 조건과 제곱수의 조건은 다릅니다

다음 문제에서 학생이 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. “18은 짝수이므로 k=1이다.” 하지만 문제에서 묻는 것은 18에 자연수 k를 곱한 결과가 제곱수가 되도록 하는 가장 작은 k입니다. 18이 짝수인지 판단하는 것만으로는 곱한 결과가 제곱수가 되는지 알 수 없습니다. k=1을 대입하면 18×1=18인데, 18은 어떤 자연수의 제곱으로 나타나지 않습니다.

교사는 먼저 “문제에서 확인하라고 한 결과는 짝수인지, 아니면 어떤 자연수의 제곱인지 무엇일까?”라고 묻습니다. 학생이 바로 이유를 설명하지 못하면 18을 소수 단위로 나누어 보게 합니다. 소수는 1보다 큰 자연수 중 양의 약수가 정확히 두 개인 수이며, 18은 2×3×3, 즉 2×3²로 소인수분해할 수 있습니다. 이 과정에서 2와 3은 소수이고, 같은 소인수가 몇 번 곱해졌는지가 제곱수 여부를 판단하는 데 중요하다는 점을 확인합니다.

18의 소인수 지수를 보고 바꾸어 풉니다

제곱수는 소인수분해했을 때 각 소인수의 지수가 짝수입니다. 예를 들어 36=2²×3²처럼 같은 소인수가 짝수 번씩 나타납니다. 이 조건을 18=2¹×3²에 적용하면, 3의 지수 2는 이미 짝수이지만 2의 지수 1은 홀수입니다. 따라서 홀수인 지수를 짝수로 만들기 위해 2를 한 번 더 곱해야 합니다.

교사가 2¹의 지수만 함께 확인해 준 뒤, 학생은 나머지 식을 직접 이어서 씁니다. “18=2×3²이고, 2의 지수가 홀수이므로 k에 2를 곱한다.” 그러면 k=2이고, 18×2=(2×3²)×2=2²×3²=(2×3)²=6²=36입니다. 학생이 처음의 k=1에서 k=2로 바꾼 이유는 18이 짝수이기 때문이 아니라, 제곱수가 되려면 모든 소인수의 지수가 짝수여야 하기 때문입니다.

오답의 원인은 답 하나만 보고 단정하지 않습니다. 학생이 제곱수의 뜻은 알고도 짝수라는 조건을 잘못 연결했는지, 소인수분해 과정에서 18을 다르게 계산했는지, 아니면 문제의 “제곱수가 되게 할 때”라는 요구를 놓쳤는지 차례로 확인합니다. 개념은 말할 수 있지만 식에서 틀렸다면 처음 달라진 계산부터 다시 살피고, 개념 자체가 불분명하면 4=2², 9=3², 18=2×3²를 비교하며 지수의 의미를 짚습니다.

계산을 반복하지 않고 결과를 확인합니다

수정한 결과는 6²=36이므로 실제로 제곱수입니다. 또 18은 4²=16과 5²=25 사이에 있으므로 18 자체를 제곱수라고 할 수 없습니다. 이 확인은 k=1일 때의 결과가 문제의 조건을 만족하지 않는다는 점을 보여 줍니다. 이후에는 수정 풀이와 정답을 가린 상태에서 학생이 18의 소인수분해부터 다시 시작하게 합니다. 혼자 막히면 교사는 지수 하나만 표시해 주고, 학생이 필요한 소인수를 선택해 k와 최종값을 다시 구하도록 도움의 양을 조절합니다.

새 조건에 적용하고 다른 판단도 비교합니다

새 문제로 “75에 가장 작은 자연수 k를 곱해 제곱수를 만들 때 k는?”을 제시합니다. 문제의 수와 소인수는 달라졌지만, 먼저 75=3×5²로 분해하는 단계는 같습니다. 5의 지수 2는 짝수이고 3의 지수 1만 홀수이므로 3을 한 번 더 곱해야 합니다. 따라서 k=3이며, 75×3=225=15²입니다. 이전 문제의 답 2를 그대로 옮기는 것이 아니라, 새 수의 소인수와 지수를 다시 확인해야 합니다.

필요하다면 “소인수의 종류가 같으면 두 수는 같다”는 설명도 비교할 수 있습니다. 384=2⁷×3, 768=2⁸×3이므로 두 수는 소인수의 종류는 같지만 지수가 다르고 값도 다릅니다. 다음 수업에서는 학생이 새 문제의 풀이와 정답을 가린 뒤 소인수분해와 지수 판단을 다시 구성하는지, k를 선택한 근거를 말할 수 있는지, 수가 달라져도 같은 조건을 정확히 적용하는지를 확인합니다.