수성구 수학과외

대표 문제에서 달라진 판단 찾기

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. 4x²−25를 인수분해하라. 학생은 “(4x−5)(x+5)이다.”라고 풀이했습니다. 두 식을 곱하면 4x²+15x−25가 되므로 원래 식과 일치하지 않습니다. 특히 가운데 항이 0이어야 하는데 15x가 생겼다는 점에서 오답임을 확인할 수 있습니다.

교사는 곧바로 계산 실수라고 단정하지 않고, 왜 4x와 x를 각각 괄호에 넣었는지 묻습니다. 학생이 “4x²에서 4x를 가져오고, 25에서 5를 가져왔다”고 설명한다면, 계수의 제곱근을 문자와 함께 넣어야 하는 판단이 아직 정확하지 않은지 살펴볼 수 있습니다. 반대로 곱셈공식은 말로 설명하지만 전개 과정에서만 값이 달라진다면, 처음 세운 식과 분배법칙을 적용한 단계를 다시 확인합니다.

조건에 맞는 식으로 다시 세우기

교사는 이 문제에서 4x²와 25가 각각 제곱으로 표현된다는 점을 짚습니다. 4x²=(2x)²이고 25=5²이므로, 두 제곱의 차를 이용할 수 있습니다. 이때 사용하는 식은 a²−b²=(a−b)(a+b)이며, 여기서는 a=2x, b=5입니다. 따라서 첫 번째 괄호의 항은 4x가 아니라 2x가 되어야 합니다.

학생이 한 번에 설명하기 어려워하면 교사는 4x²=(2x)(2x)까지만 함께 써 줍니다. 이어서 25=5×5임을 확인한 뒤, 두 괄호의 부호가 서로 반대여야 가운데 항이 없어지는 이유를 보여 줍니다. 학생은 처음의 (4x−5)(x+5)에서 ‘제곱근을 문자와 함께 괄호에 넣는다’는 판단으로 바꾸어, 4x²−25=(2x−5)(2x+5)라고 다시 풀이합니다. 이 식은 (2x−5)(2x+5)=(2x)²−5²=4x²−25가 되어 정답과 일치합니다.

전개로 확인하고 도움을 조정하기

수정 풀이를 적은 뒤에는 같은 식을 그대로 다시 베껴 쓰게 하지 않고, 풀이와 정답을 가린 상태에서 문제만 보고 다시 시작하게 합니다. 학생은 먼저 4x²=(2x)², 25=5²라고 판단한 다음 두 제곱의 차를 적용합니다. 이후 전개하여 4x²+10x−10x−25를 만들고, 중간항이 서로 없어져 4x²−25가 되는지 확인합니다.

이 과정에서 식을 세우는 데 막히면 제곱근과 괄호의 관계를 다시 설명하고, 전개에서 막히면 각 항을 곱하는 순서만 짧게 함께 확인합니다. 다른 방식으로 풀었더라도 두 인수를 곱한 결과가 원래 식과 같고 조건에 맞으면 인정할 수 있습니다. 확인할 점은 표시가 늘었는지가 아니라, 학생이 수정된 인수와 중간항이 사라지는 근거를 설명하는지입니다.

새 조건에 적용하고 다음 판단 확인하기

새 문제로 25x²−4를 인수분해하라를 제시할 수 있습니다. 이번에는 25x²=(5x)², 4=2²이므로 앞 문제와 같은 두 제곱의 차를 적용할 수 있습니다. 학생은 이전 답을 그대로 옮기지 않고, 바뀐 제곱의 항을 먼저 찾아 (5x−2)(5x+2)라고 풀이합니다. 실제로 전개하면 25x²−10x+10x−4=25x²−4입니다.

상수항의 곱만 맞으면 인수분해가 끝나는지 확인할 때는 x²+21x+110을 비교할 수 있습니다. (x−10)(x−11)은 상수항은 110이지만 일차항이 −21x이므로 원래 식과 다릅니다. 올바른 식은 (x+10)(x+11)이며, 전개 결과 x²+21x+110이 됩니다. 먼저 새 적용 문제를 스스로 해결하는지 보고, 이어서 인수의 곱뿐 아니라 전개했을 때 모든 항과 부호가 일치하는지 설명하는지를 다음 확인 기준으로 삼습니다.