대구서구 수학과외

첫째 행만 바꾼 오답에서 확인한 판단

다음 문제에서 학생이 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. A=[[1,-2],[0,3]]일 때 2A는? 학생은 “첫째 행만 2배한다.”라고 풀이했습니다. 이 답은 첫째 행의 [1,-2]를 [2,-4]로 바꾸었다는 점에서는 일부 계산이 맞지만, 2A라는 표현의 조건을 행 전체에만 적용했다는 점에서 완전한 답이 아닙니다. 2A에서 2는 특정 행을 가리키는 표시가 아니라 행렬 A의 모든 성분에 곱하는 상수입니다.

따라서 둘째 행 [0,3]도 빠뜨리지 않고 [0×2, 3×2]로 계산해야 합니다. 이때 0은 그대로 0이고, 양수 3은 6이 됩니다. 첫째 행만 계산한 이유가 문제를 읽는 과정의 어려움인지, 상수배의 의미를 잘못 이해한 것인지, 아니면 둘째 행 계산을 빠뜨린 단순한 실수인지는 오답 하나만으로 확정하지 않습니다.

문제를 다시 읽으며 원인을 구분하는 과정

교사는 먼저 “2A에서 2는 어느 부분에 작용한다고 생각했나요?”라고 묻고, 학생이 문제의 조건을 어떻게 해석했는지 확인합니다. 이어서 “행렬 A의 성분을 모두 말해 볼까요?”라고 하며 1, -2, 0, 3을 순서대로 짚게 합니다. 학생이 상수배의 의미를 말로 설명하기 어렵다면, 교사는 첫째 행의 한 성분만 함께 계산해 2×1=2가 되는 과정을 보여 준 뒤 둘째 성분과 둘째 행은 학생이 이어서 시도하게 합니다.

이 문제에서는 행과 열의 위치를 유지하면서 각 위치의 수를 계산해야 합니다. 특히 -2에 2를 곱하면 -4가 되므로 음수의 부호를 바꾸어 양수로 만들지 않는지도 함께 확인합니다. 행과 열의 위치를 유지하는 생각은 행렬을 다룰 때 중요하지만, 이 문제의 2A는 행렬 곱에서 연결되는 항을 정하는 문제가 아니라 하나의 상수를 모든 성분에 곱하는 문제라는 차이도 분명히 합니다.

설명 후 학생이 수정 풀이를 다시 구성하기

교사는 “첫째 행만 바꾸라”는 조건이 문제에 있었는지 다시 찾아보게 하고, 그런 조건이 없다는 점을 확인합니다. 그런 다음 행렬 전체에 2를 곱한다는 뜻을 식으로 나누어 보여 줍니다. 첫째 행은 [2×1, 2×(-2)]=[2,-4]이고, 둘째 행은 [2×0, 2×3]=[0,6]입니다. 음수 성분은 2×(-2)=-4로 계산하며, 행의 위치와 성분의 위치는 그대로 둡니다.

이제 앞의 풀이와 정답을 가리고, 문제의 수치와 조건만 보이는 상태에서 학생이 처음부터 다시 풉니다. 학생은 “2A의 2는 첫째 행에만 곱하는 수가 아니라 A의 모든 성분에 곱하는 상수이므로 둘째 행도 계산해야 한다.”라고 판단을 바꾸고, 2A=[[2,-4],[0,6]]을 구합니다. 학생이 한 번에 이어 가지 못하면 교사가 첫째 행까지 함께 풀고, 둘째 행의 각 성분에 2를 곱하는 단계부터 다시 시도하게 합니다.

원래 조건으로 검산하고 다른 표현에 적용하기

검산은 풀이를 그대로 반복하지 않고 결과의 모든 성분을 2로 나누어 확인합니다. [[2,-4],[0,6]]의 각 성분을 2로 나누면 [[1,-2],[0,3]]이 되어 원래 행렬 A가 돌아옵니다. 이 확인은 모든 성분에 2를 곱했다는 결과와 원래 조건이 서로 맞는지 보여 줍니다. 반대로 첫째 행만 2배한 [[2,-4],[0,3]]은 둘째 행이 변하지 않았으므로 2A의 결과가 될 수 없습니다.

다음 적용 문제로 A=[[1,-2],[0,3]], I=[[1,0],[0,1]]일 때 A+2I를 구해 봅니다. 여기서 먼저 2I=[[2,0],[0,2]]를 계산한 뒤 같은 위치의 성분끼리 더하므로 A+2I=[[3,-2],[0,5]]입니다. 이 결과는 모든 성분을 두 배 하는 2A와 다릅니다. 학생이 문제의 연산 기호를 구분하고, 어떤 수가 무엇을 뜻하는지 설명하면서 새 조건에도 이전 방법을 적절히 바꾸어 적용하는지를 다음 확인 내용으로 삼습니다.

필요하다면 A=[[1,2],[3,4]]에서 0A를 구하는 비교 문제도 선택할 수 있습니다. 모든 성분에 0을 곱하면 [[0,0],[0,0]]이지만, 첫째 행만 0으로 바꾸면 둘째 행에 원래 값이 남습니다. 이 차이를 통해 학생이 “상수배는 특정 행만 바꾸는 연산”이라는 오해를 새 수치에서도 수정하는지 확인하고, 다음 수업에서는 문제의 연산 기호와 적용 범위를 먼저 읽은 뒤 성분별 계산으로 옮기는 연습을 이어 갑니다.