대구중구 고등수학과외

더한 값 1이 거리일 수 있는지 확인하기

배움노트 고등수학 수업 수업에서는 정답만 맞혔는지보다 식의 근거가 남아 있는지를 먼저 살핀다. A(−1, 2), B(3, −1) 사이의 거리를 구하는 문제에서 이렇게 답했다고 하자. 두 점의 좌표 차이를 4와 −3으로 계산한 뒤, 4+(−3)=1이므로 거리는 1이라고 적은 경우다. 이때 오답 하나만으로 좌표 개념을 모른다고 단정하지 않는다. 학생에게 “가로로 얼마나 이동했는가?”, “세로로 얼마나 이동했는가?”, “두 변위의 방향과 빗변의 길이는 어떻게 연결되는가?”라고 차례로 묻는다. 좌표 차의 부호를 방향 표시로 이해하는지, 길이를 구할 때 절댓값이나 제곱이 필요한지 직접 말하게 한다.

변위와 거리를 나누어 식을 완성하기

먼저 좌표 차이는 한 점에서 다른 점으로 이동한 양이다. 가로 변위는 3−(−1)=4, 세로 변위는 −1−2=−3이다. −3은 아래쪽으로 이동했다는 뜻이지, 거리 자체가 음수라는 뜻은 아니다. 두 점을 좌표평면에 표시하고 직각삼각형을 그리면 두 직각변의 길이는 |4|와 |−3|이다. 교사는 √(4²+(−3)²)까지 한 단계만 제시하고, 마지막 계산은 학생이 직접 적도록 한다. 학생은 거리 = √(4²+(−3)²)=√25=5라고 완성한다. 원점이나 기울기 공식을 섞지 않고, 거리와 직선 위 점의 대입 조건을 구분하는지도 함께 확인한다. 특히 기울기를 구할 때 분모가 0이면 기울기 공식으로 처리할 수 없고 수직선이라는 별도 판단이 필요하므로, 거리 공식과 기울기 공식을 같은 절차로 외우지 않게 한다.

가린 풀이를 다시 세워 조건이 바뀐 점 확인하기

정답은 5이다. 거리의 제곱은 25이고, 두 점의 순서를 바꾸면 좌표 차의 부호는 각각 바뀌지만 제곱 뒤의 값과 거리는 같다. 이제 문제, 두 점의 좌표, 빈 풀이 칸만 남기고 앞서 본 풀이·정답·유도 표시는 가린 상태에서 다시 시작한다. 학생은 먼저 주어진 두 점을 식에 직접 대입해 가로 변위와 세로 변위를 표시한 뒤, 바뀐 조건이 있는지 확인한다. 표현만 달라진 경우에는 같은 거리 공식을 사용하지만, 다음 문제 A(2, −3), B(2, 4)에서는 두 x좌표가 같다는 실제 조건이 추가된다. 가로 변위는 0, 세로 변위는 7이므로 √(0²+7²)=7이다. 이는 수직선 위 두 y좌표의 거리 |4−(−3)|와도 같다. 마지막 줄을 비워 두고 학생이 “정답은 7이며 x좌표가 같아 세로 길이만 남는다”라고 이유까지 채우게 한다. 그림의 모양만 보고 판단하지 않고 좌표를 식에 넣었는지, 바뀐 조건을 먼저 표시했는지 다음 풀이에서 다시 점검한다.