대덕구 수학과외

대표 문제에서 9가 나온 이유

다음 문제를 교육용 상황으로 살펴보겠습니다. 집합 A의 원소 수가 5, 집합 B의 원소 수가 4이고, 두 집합에 공통으로 들어 있는 원소 수가 2일 때 A와 B의 합집합의 원소 수를 구하는 문제입니다. 합집합은 A 또는 B에 속하는 원소를 한 번씩 모아 놓은 집합이므로, 구해야 하는 값은 두 집합에 포함된 서로 다른 원소의 전체 개수입니다.

학생이 “9다.”라고 답했다고 가정해 보겠습니다. 9는 5와 4를 더한 값이므로, A의 원소와 B의 원소를 모두 세기는 했지만 공통 원소를 어떻게 처리해야 하는지는 반영하지 않은 결과입니다. 공통 원소 2개는 A를 셀 때 한 번, B를 셀 때 한 번씩 이미 두 번 포함되어 있습니다. 따라서 단순히 5+4만 계산하면 공통 원소를 한 번 중복해서 세게 됩니다.

어느 판단에서 어긋났는지 확인하는 과정

교사는 처음부터 계산 실수라고 단정하지 않고 “9는 어떤 수를 더해서 얻었는가?”, “두 집합에 함께 들어 있는 원소는 몇 번 세어졌는가?”라고 묻습니다. 학생이 5+4를 세운 이유는 설명하지만 공통 원소의 역할을 말하지 못한다면, 계산보다 합집합의 의미를 적용하는 과정에서 막힌 것으로 볼 수 있습니다. 반대로 공통 원소를 한 번만 세어야 한다는 개념은 설명하면서 부호나 뺄셈에서 실수했다면, 처음 세운 식부터 다시 확인합니다.

교사는 A의 원소 5개와 B의 원소 4개를 합치면 공통 원소 2개가 두 번 들어간다는 점을 짚습니다. 그러므로 중복된 2개 중 한 번을 제거해야 합니다. 이 문제에서는 집합의 원소 수를 구하는 식이 5+4-2가 되며, 공통 원소를 한 번만 남기는 것이 핵심입니다. 이 판단은 합집합의 원소 수를 구할 때 공통 부분이 주어진 경우에 적용됩니다.

학생의 수정 풀이와 검산

설명을 들은 뒤 학생은 처음 답을 그대로 고쳐 쓰는 데서 멈추지 않고, 문제의 조건을 다시 사용해 풀이를 시도합니다. 먼저 A의 원소 5개와 B의 원소 4개를 더해 9를 구합니다. 이 상태에서는 공통 원소 2개가 두 번 포함되었으므로, 중복된 한 번을 빼서 5+4-2=7로 수정합니다. 학생은 “처음에는 공통 원소 2개를 두 번 센 뒤 빼지 않았고, 이제 한 번을 빼서 한 번만 남겼다”고 문제의 조건과 연결해 설명할 수 있습니다.

검산에서는 같은 식을 반복하기보다 원소를 겹치지 않게 나누어 봅니다. A에만 속하는 원소는 5-2=3개이고, 공통 원소는 2개이며, B에만 속하는 원소는 4-2=2개입니다. 따라서 서로 겹치지 않는 부분을 합치면 3+2+2=7개입니다. 이 결과가 합집합의 원소 수와 같으므로 7이라는 답이 조건에 맞는지 확인할 수 있습니다. 풀이 순서를 외워 적은 경우에는 식과 정답을 가리고 같은 문제를 다시 해결하게 하며, 혼자 막히면 개념 설명이 필요한지 계산 과정이 어려운지에 따라 도움을 조절합니다.

새 조건에 적용하고 다음 판단 확인하기

이제 다른 상황에 같은 방법을 적용해 보겠습니다. 학생 20명 중 수학을 선택한 학생이 12명, 영어를 선택한 학생이 11명이고, 두 과목을 모두 선택한 학생이 5명이라고 하겠습니다. 수학 또는 영어를 선택한 학생 수를 구할 때도 두 과목을 모두 선택한 5명이 두 번 세어집니다. 따라서 12+11-5=18명입니다. 기본 문제와 달라진 것은 집합 대신 선택 과목 상황으로 표현되었다는 점뿐이며, 공통으로 포함된 대상을 한 번만 남긴다는 판단은 그대로 적용됩니다.

추가로 “겹치는 부분은 두 집합에서 각각 한 번씩 모두 빼야 한다”는 설명이 항상 맞는지도 확인할 수 있습니다. 집합 A의 원소 수가 4, 집합 B의 원소 수가 3, 공통 원소 수가 2라면 합집합은 4+3-2=5입니다. 공통 원소를 두 번 빼면 이미 한 번 더해진 부분을 모두 없애게 되어 3이라는 잘못된 결과가 나옵니다. 다음 수업에서는 학생이 풀이와 정답을 가린 뒤 조건만 보고 합집합의 원소 수를 다시 구하는지, 공통 원소를 한 번 빼는 이유를 설명하는지, 표현이 달라진 새 문제에도 적용하는지를 확인합니다.