유성구 수학과외

3-4-5 직각삼각형을 떠올리며 생긴 오답

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. “한 직각삼각형의 두 직각변의 길이가 각각 xcm, (x+1)cm이고 빗변의 길이가 5cm일 때 x는 얼마인가?” 학생은 “x=4cm다.”라고 답했습니다. 3-4-5 직각삼각형을 떠올린 판단 자체는 자연스러울 수 있지만, 문제에서 x는 두 직각변 중 하나의 길이를 나타내는 문자입니다. x=4라면 다른 직각변은 x+1=5가 되고, 두 직각변으로 계산한 제곱의 합은 4²+5²=41입니다. 이는 빗변 5cm에서 요구되는 5²=25와 맞지 않습니다.

따라서 답이 틀렸다는 사실과 학생이 왜 4를 선택했는지는 나누어 살펴볼 필요가 있습니다. 3-4-5 관계를 문제에 그대로 대입한 것인지, x와 x+1의 관계를 놓친 것인지, 식을 세운 뒤 계산에서 달라진 것인지는 오답 하나만으로 확정할 수 없습니다.

문제의 조건을 식으로 옮기는 확인

교사는 먼저 “5cm인 변은 두 직각변 중 하나인가, 빗변인가?”라고 묻고, 문제에서 빗변이라고 제시한 조건을 다시 짚습니다. 이어 “x가 4라면 x+1은 얼마이고, 두 직각변의 제곱을 더하면 빗변의 제곱과 같을까?”라고 확인합니다. 학생이 이유를 바로 설명하지 못하면 교사가 직각삼각형의 두 직각변과 빗변을 구분하는 부분을 함께 짚은 뒤, 나머지 식은 학생이 이어서 세우게 합니다.

이 문제에서는 직각삼각형의 세 변에 피타고라스 정리를 적용할 수 있으므로 x²+(x+1)²=5²를 세웁니다. 이 식은 두 직각변의 제곱의 합이 빗변의 제곱과 같다는 조건을 반영한 것입니다. 정리하면 x²+x²+2x+1=25, 즉 2x²+2x-24=0이고, 2로 나누면 x²+x-12=0입니다. 인수분해하면 (x-3)(x+4)=0이므로 방정식의 해는 x=3 또는 x=-4입니다.

방정식의 해와 실제 길이를 나누어 다시 풀기

교사는 두 해를 모두 계산했다고 해서 둘 다 실제 답으로 옮기지는 않습니다. x는 직각변의 길이를 나타내므로 양수여야 하고, 다른 직각변 x+1도 길이이므로 양수여야 합니다. x=-4이면 x 자체가 음수이고 x+1=-3도 음수가 되어 길이가 될 수 없습니다. 따라서 이 문제에서 허용되는 값은 x=3cm입니다.

학생은 처음의 “x=4cm”라는 판단을 지우는 데 그치지 않고, 빗변 5cm를 식에 넣어 두 직각변의 제곱을 더하는 방식으로 다시 풉니다. 먼저 x²+(x+1)²=25를 쓰고, 방정식의 두 해 3과 -4를 구한 다음, 실제 길이라는 조건에 따라 -4를 제외합니다. 이때 학생이 “-4도 방정식의 해이지만 길이는 될 수 없어서 x=3만 남는다”고 설명할 수 있는지를 확인합니다.

조건 대입과 새 문제에서의 적용

수정한 답은 원래 조건에 대입해 확인합니다. x=3이면 두 직각변은 3cm와 4cm이고, 3²+4²=9+16=25=5²이므로 빗변 5cm 조건과 일치합니다. 풀이 순서를 외워 쓴 것인지 확인하려면 풀이와 정답을 가린 뒤 문제의 조건만 보이게 하고 다시 시작하게 합니다. 혼자 막히면 식을 세우는 단계와 계산하는 단계 중 어느 부분에서 도움이 필요한지 살펴보고, 필요한 단계만 함께 풀어 줍니다.

새 적용 문제는 “빗변이 10cm이고 한 직각변이 6cm인 직각삼각형의 다른 직각변은 얼마인가?”입니다. 이번에는 구하려는 다른 직각변을 x라고 두면 x²+6²=10²이므로 x²=100-36=64입니다. 제곱근은 8과 -8이지만, 길이는 양수여야 하므로 x=8cm를 선택합니다. 앞 문제와 숫자와 구하는 위치는 달라졌지만, 직각변의 제곱과 빗변의 제곱을 연결하고 실제 길이에 맞는 값만 고르는 흐름은 조건에 맞게 적용할 수 있습니다.

추가로 넓이가 36cm²인 정사각형의 한 변을 x라고 하면 x²=36에서 실근은 ±6이지만, 변의 길이는 양수이므로 x=6cm만 가능합니다. 이 비교는 방정식의 모든 실근을 실제 길이로 인정할 수 있는 것은 아니라는 점을 확인하는 자료입니다. 다음 수업에서는 학생이 기본 문제와 새 적용 문제의 풀이와 정답을 가리고 다시 해결한 뒤, 선택한 답이 어떤 조건에 근거하는지 말하고 새 조건에도 같은 판단을 적용하는지를 확인합니다.