대전서구 수학과외

분자가 아니라 기약분수의 분모를 확인하기

다음 문제에서 학생이 “2/7이 유한소수가 아닌 이유는 분자가 2이기 때문이다”라고 답했다고 가정해 보겠습니다. 이 답은 결론은 맞지만, 유한소수 여부를 판단하는 기준을 분자에 적용했다는 점에서 풀이가 정확하지 않습니다. 먼저 2/7은 이미 더 이상 약분되지 않는 기약분수인지 확인해야 합니다. 2와 7의 공약수는 1뿐이므로 분모에 7이 남습니다. 기약분수의 분모를 소인수분해했을 때 소인수가 2와 5만 있으면 유한소수로 나타낼 수 있지만, 7처럼 다른 소인수가 남으면 유한소수가 되지 않습니다. 따라서 이 문제의 핵심은 분자가 2라는 사실이 아니라, 약분한 뒤에도 분모에 7이 남는다는 점입니다.

어느 판단에서 어긋났는지 확인하는 과정

교사는 오답 문장만 보고 계산 실수나 개념 오해를 바로 단정하지 않습니다. “2/7을 먼저 약분할 수 있는지 확인했나요?”, “유한소수인지 판단할 때 분자와 분모 중 어느 쪽을 살펴보아야 하나요?”라고 묻고, 학생이 기약분수와 분모의 소인수 조건을 말로 설명하는지 확인합니다. 학생이 개념은 설명하지만 답을 잘못 연결했다면 처음 세운 식과 조건 해석을 다시 살핍니다. 반대로 어디에서 판단해야 하는지 막힌다면 교사가 2와 7에는 공약수가 없다는 부분을 먼저 함께 확인한 뒤, 분모에 어떤 소인수가 남는지 이어서 보게 합니다.

조건을 짚은 뒤 수정 풀이를 다시 쓰기

교사는 “유한소수는 기약분수로 고친 뒤 분모의 소인수가 2와 5뿐일 때 나타낼 수 있다”는 기준을 이 문제에 맞게 설명합니다. 이 기준은 모든 분수를 약분하지 않고 판단해도 된다는 뜻이 아니라, 반드시 기약분수로 만든 다음 적용해야 한다는 조건이 붙습니다. 학생은 처음의 “분자가 2여서 무한소수다”라는 판단을 “2/7은 이미 기약분수이고, 분모 7은 2나 5가 아니므로 유한소수가 아니다”로 고쳐 씁니다. 이어서 분모 7이 어떤 10의 거듭제곱의 약수가 될 수 없다는 점을 확인하며, 실제로 2÷7의 소수 전개가 끝나지 않고 반복된다는 결론을 답으로 정리합니다. 교사가 한 단계를 보여 준 경우에도 나머지 이유와 결론은 학생이 직접 이어서 쓰게 하며, 다른 방식으로 설명하더라도 조건과 계산이 맞으면 인정합니다.

검산과 새로운 분수에 적용하기

수정 풀이를 그대로 베껴 쓴 것인지 확인하려면 풀이와 정답을 가리고 문제의 조건만 보이게 한 뒤, 학생이 2/7을 다시 판단하게 합니다. 이때 “기약분수인가?”, “분모에 어떤 소인수가 남는가?”를 순서대로 확인하고, 7이 10의 거듭제곱을 나누지 못한다는 근거까지 설명하는지 봅니다. 이어서 새 문제로 3/14가 유한소수인지 판단합니다. 3/14도 약분되지 않고 분모가 2×7이므로 7이 남아 유한소수가 아닙니다. 이전 문제와 분모의 모양은 달라졌지만, 기약분수로 만든 뒤 분모의 소인수를 확인하는 방법은 그대로 적용됩니다. 추가로 “약분 전 분모에 3이 있으면 항상 무한소수인가?”를 확인할 때는 3/768을 비교할 수 있습니다. 3으로 약분하면 1/256이고, 256=2⁸이므로 이 분수는 유한소수입니다. 따라서 다음 확인에서는 학생이 숫자 하나만 보고 결론을 내리지 않고, 약분 후 분모와 그 소인수를 근거로 새 조건에서도 판단하는지를 살펴봅니다.