신방동 수학과외

대표 문제와 처음 나타난 오답

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. A=[[1,2],[3,4]], B=[[2,0],[1,5]]일 때 A+B를 구하라는 문제입니다. 학생은 “[[2,0],[3,20]]이다.”라고 답했습니다. 이 답은 두 배열의 성분을 같은 위치에서 더한 결과가 아닙니다. 문제에서 구하는 것은 행렬의 곱이 아니라 덧셈이므로, 각 수가 놓인 행과 열의 위치를 유지하면서 계산해야 합니다.

교사는 곧바로 계산 실수라고 단정하지 않고 “첫 번째 행의 첫 번째 자리에는 A와 B에서 어떤 수가 있나요?”, “두 번째 행의 두 번째 자리에서는 어떤 연산을 했나요?”라고 묻습니다. 학생이 처음 답을 만든 이유를 설명하기 어려워하면, 첫 번째 자리인 1과 2만 함께 살펴본 뒤 나머지 자리는 직접 이어서 계산하게 합니다. 이렇게 하면 문제의 요구를 잘못 읽은 것인지, 행과 열의 위치를 섞은 것인지, 계산 과정에서 실수한 것인지 구분할 수 있습니다.

같은 행과 열의 성분을 연결하는 풀이

교사는 두 행렬의 덧셈에서는 같은 행과 같은 열에 있는 성분끼리 더한다고 설명합니다. 첫 번째 행 첫 번째 열은 1+2=3이고, 첫 번째 행 두 번째 열은 2+0=2입니다. 두 번째 행 첫 번째 열은 3+1=4이며, 두 번째 행 두 번째 열은 4+5=9입니다. 따라서 결과는 A+B=[[3,2],[4,9]]입니다.

이때 1과 2를 더한 값 3은 결과 행렬의 첫 번째 행 첫 번째 열에 놓이고, 4와 5를 더한 값 9는 두 번째 행 두 번째 열에 놓입니다. 위치를 바꾸지 않는 것이 중요한 이유는 행렬의 각 성분이 행과 열의 위치와 함께 하나의 값을 이루기 때문입니다. 학생이 “행렬의 덧셈도 같은 자리의 수를 곱하는 것인가요?”라고 묻는다면, 덧셈에서는 더하고 곱셈은 별도의 연산이라고 구분해 설명합니다.

설명을 들은 뒤 학생은 처음의 [[2,0],[3,20]]에서 어떤 판단을 바꾸었는지 문제의 조건과 연결해 다시 풉니다. 먼저 결과 행렬의 모양을 두 행 두 열로 적고, 첫 번째 자리부터 A와 B의 같은 자리를 찾아 계산합니다. 학생이 두 번째 행에서 막히면 교사가 3과 1의 위치를 함께 확인해 준 다음, 3+1과 4+5를 학생이 직접 계산하도록 도움을 줄입니다. 마지막에는 네 결과를 [[3,2],[4,9]]의 알맞은 위치에 넣어 답을 완성합니다.

결과를 다른 방식으로 확인하기

수정한 결과를 C=[[3,2],[4,9]]라고 두고, C에서 B를 같은 자리끼리 빼 보겠습니다. 첫 번째 행은 3-2=1, 2-0=2이고, 두 번째 행은 4-1=3, 9-5=4입니다. 따라서 C-B=[[1,2],[3,4]]=A가 되어, 더한 결과가 원래 A와 일관되는지 확인할 수 있습니다. 이는 처음의 풀이를 그대로 반복하는 것이 아니라, 결과에서 B를 제거했을 때 A가 복원되는지를 보는 검산입니다.

다시 확인할 때는 앞에서 적은 수정 풀이와 정답을 가리고, 문제의 조건만 보면서 학생이 같은 자리를 찾아 계산하게 합니다. 혼자 시작하지 못하면 개념을 다시 설명해야 하는지, 특정 자리의 덧셈에서만 막히는지 살펴보고 도움의 양을 조절합니다. 학생이 네 성분의 위치와 계산 근거를 말하거나 글로 설명하고, 가린 풀이를 다시 구성하는지가 다음 확인 기준입니다.

뺄셈과 한 줄 배열에 적용하기

새 문제로 같은 A와 B에 대해 A-B를 구해 보겠습니다. 이번에는 연산이 덧셈에서 뺄셈으로 바뀌었지만, 같은 행과 같은 열의 성분을 연결한다는 위치 원칙은 그대로 사용할 수 있습니다. 1-2=-1, 2-0=2, 3-1=2, 4-5=-1이므로 A-B=[[-1,2],[2,-1]]입니다. 이 결과에 B를 같은 자리끼리 더하면 [[1,2],[3,4]]가 되어 A가 복원됩니다.

추가로 A=[[1,2]], B=[[3,4]]인 한 행 배열의 덧셈도 살펴볼 수 있습니다. 같은 위치끼리 더하면 A+B=[[4,6]]이고, 같은 자리의 수를 곱한 [[3,8]]은 덧셈의 결과가 아닙니다. 이 비교는 배열의 크기가 달라져도 덧셈의 위치 원칙을 확인하는 자료입니다. 다음 수업에서는 학생이 새 문제의 풀이와 정답을 가린 상태에서 조건만 보고, 덧셈과 뺄셈을 구분해 같은 자리의 성분을 직접 찾아 해결하는지 확인합니다.