천안문화동 수학과외

대표 문제에서 놓친 조건

다음 문제에서 학생이 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. “세 변의 길이가 2cm, 3cm, 6cm이고 세 길이가 모두 양수이므로 삼각형을 만들 수 있다.” 길이가 양수라는 것은 선분의 길이로서 필요한 조건이지만, 그것만으로 세 선분이 삼각형을 이룬다고 확정할 수는 없습니다. 이 문제에서 확인해야 할 것은 가장 긴 변 6cm와 나머지 두 변 2cm, 3cm의 관계입니다.

삼각형이 되려면 짧은 두 변의 길이의 합이 가장 긴 변의 길이보다 커야 합니다. 따라서 이 문제에서는 2+3을 계산해 6과 비교해야 합니다. 그런데 2+3=5이고 5<6이므로, 짧은 두 변을 이어도 긴 변 6cm의 양 끝에 닿을 만큼 길지 않습니다. 세 길이가 양수라는 사실은 맞지만, 문제에서 필요한 삼각형의 조건을 확인하지 않은 판단이므로 결론은 삼각형을 만들 수 없다입니다.

오답의 원인을 구분하는 확인

교사는 처음 답을 들은 뒤 곧바로 학생의 원인을 정하지 않고 “양수라는 조건만으로 충분하다고 생각한 이유는 무엇일까?”라고 묻습니다. 학생이 삼각형의 조건을 말하지 못한다면 짧은 두 변의 합과 가장 긴 변을 비교해야 한다는 개념을 먼저 확인합니다. 반대로 그 조건은 알고 있었는데 2+3을 잘못 계산했거나 5와 6의 대소를 바꾸었다면, 개념보다 계산 과정과 부등호 해석을 다시 살펴봅니다.

또한 그림에 보이는 모양을 임의로 상상하는 대신, 주어진 길이와 각 조건이 무엇인지 읽고 그 조건으로 판단하게 합니다. 이 문제에는 각도나 같은 길이라는 추가 조건이 제시되지 않았으므로, 확인할 수 있는 범위는 세 변의 길이가 삼각형의 부등식을 만족하는지 여부입니다. 학생이 이유를 말하기 어려워하면 교사가 2와 3을 먼저 더해 보이며 “이 합이 6보다 긴가, 짧은가?”처럼 한 단계씩 질문하고 다음 판단은 학생이 이어 가게 합니다.

조건을 고친 수정 풀이와 검산

교사는 문제에서 가장 긴 변을 먼저 찾도록 돕습니다. 가장 긴 변은 6cm이므로 나머지 두 변 2cm와 3cm를 더해 2+3=5를 계산합니다. 삼각형이 되려면 이 값이 6보다 커야 하지만 5는 6보다 작습니다. 따라서 세 선분은 삼각형을 만들 수 없습니다. 학생은 처음의 “모두 양수이므로 가능하다”는 판단에서, 양수 여부가 아니라 짧은 두 변의 합과 가장 긴 변의 길이를 비교해야 한다는 판단으로 풀이를 고칩니다.

검산은 같은 식을 반복해서 쓰는 대신 길이를 실제로 이어 보는 방식으로 확인할 수 있습니다. 2cm 선분과 3cm 선분을 일직선으로 펴서 이어도 전체 길이는 5cm이므로 6cm 선분의 양 끝에 닿지 못합니다. 이 결과는 2+3<6이라는 계산과도 일치합니다. 수정 풀이를 익힌 뒤에는 문제의 조건은 보이게 두고 풀이와 정답은 가린 상태에서 학생이 다시 시작하게 합니다. 혼자 막히면 개념 설명이 필요한지, 더하기나 부등호 비교에서 막혔는지에 따라 도움의 양을 조절합니다.

새 조건에 적용하고 다음을 확인하기

이제 기본 문제와 다른 자료로 길이 4cm, 6cm, 10cm인 세 막대를 살펴봅니다. 가장 긴 변은 10cm이고 짧은 두 변의 합은 4+6=10입니다. 삼각형이 되려면 합이 가장 긴 변보다 엄격히 커야 하므로, 같을 때는 세 막대가 일직선으로 펴질 뿐 삼각형이 되지 않습니다. 따라서 이 세 막대로도 삼각형을 만들 수 없습니다.

필요하다면 2cm, 3cm, 5cm를 비교 자료로 사용할 수 있습니다. 여기서도 2+3=5라서 두 짧은 변의 합이 긴 변과 같고, 세 선분이 일직선으로 놓이므로 삼각형이 되지 않습니다. 다음 수업에서는 학생이 새 문제의 풀이와 정답을 가린 상태에서 4+6과 10을 스스로 비교하는지, 왜 ‘같음’이 아니라 ‘보다 큼’이어야 하는지 설명하는지 확인합니다. 이후 숫자나 조건이 달라졌을 때도 가장 긴 변을 찾고 짧은 두 변의 합을 비교하는 과정을 적용하는지를 보며 다음 설명의 범위를 정합니다.