청당지구 수학과외

대표 문제에서 놓친 닮음의 조건

다음 문제에서 학생이 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. “가로와 세로의 길이가 2와 4인 직사각형, 그리고 3과 5인 직사각형은 둘 다 네 각이 직각이므로 닮았다.” 두 직사각형의 네 각이 모두 직각이라는 판단 자체는 맞습니다. 하지만 도형이 닮으려면 대응하는 각의 크기가 같을 뿐 아니라 대응변의 길이의 비도 일정해야 합니다. 각의 일치만으로는 한 도형이 다른 도형을 일정한 비율로 확대하거나 축소한 것인지 알 수 없습니다.

이 문제에서 대응하는 변을 가로끼리, 세로끼리 비교하면 가로의 비는 2/3이고 세로의 비는 4/5입니다. 두 비가 서로 다르므로 한쪽 도형을 하나의 확대 비율로 바꾸어 다른 도형과 겹치게 할 수 없습니다. 따라서 이 두 직사각형은 닮지 않았다고 결론 내립니다.

오답의 이유를 풀이 과정에서 구분하기

교사는 처음 답을 곧바로 단순한 계산 실수라고 단정하지 않고 “직각이라는 조건만으로 닮음을 판단했나요, 아니면 대응변의 비도 비교했나요?”라고 묻습니다. 학생이 닮음의 조건을 말로 설명할 수 있는지와 실제 식으로 적용할 수 있는지는 나누어 확인해야 합니다. 학생이 ‘각이 같으면 닮음’이라고 이해했다면 개념 적용의 범위를 다시 살피고, 대응변의 비를 알고 있었지만 식을 잘못 세웠다면 처음 달라진 계산 단계와 조건 해석을 확인합니다.

교사는 2와 3, 4와 5가 각각 어떤 변을 나타내는지 짚은 뒤, “두 번째 직사각형을 첫 번째 직사각형으로 바꾸려면 가로와 세로에 같은 수를 곱해야 할까요?”라고 안내합니다. 학생이 바로 설명하기 어렵다면 2/3을 함께 계산해 보고, 이어서 4/5는 직접 계산하게 합니다. 이렇게 하면 닮음 여부를 표시하는 데서 그치지 않고, 대응변 비가 일정해야 한다는 이유를 문제의 수치와 연결할 수 있습니다.

학생이 수정 풀이를 다시 구성하는 과정

학생은 처음의 “둘 다 직각이라 닮았다”는 판단에서, 각의 일치만 확인한 부분을 바꾸어 풀이를 다시 시작합니다. 먼저 두 직사각형의 모든 각이 직각이라는 점을 확인한 뒤, 닮음 여부를 결정하려면 대응변의 비를 추가로 비교해야 한다고 씁니다. 가로변에 대해서는 2:3, 세로변에 대해서는 4:5이므로 두 비가 같지 않다고 정리합니다.

그다음 학생은 “가로는 3/2배로 바꾸어야 하지만 세로는 5/4배로 바꾸어야 하므로 같은 확대 비율을 사용할 수 없다”고 설명하며 닮지 않았다는 결론을 냅니다. 여기서 2/3과 4/5는 닮음비 그 자체를 하나로 정한 값이 아니라, 각각 대응변을 비교한 결과입니다. 어떤 변을 대응시키는지는 문제에서 주어진 가로·세로의 대응에 따라 일관되게 정해야 하며, 두 비가 같을 때에만 이 문제의 직사각형들이 닮았다고 판단할 수 있습니다.

검산과 새로운 조건에 적용하기

수정 풀이를 가린 뒤 학생이 문제의 조건만 보고 다시 해결하게 합니다. 다른 방식으로 확인할 때도 가로와 세로의 비를 1:2, 3:5로 각각 비교할 수 있습니다. 이 두 비 역시 다르므로 앞서 얻은 결론과 일치합니다. 이는 같은 식을 반복한 것이 아니라, 비를 간단한 비로 바꾸어 대응변의 비가 일정하지 않음을 확인한 것입니다. 학생이 이 과정에서 막히면 개념 설명이 더 필요한지, 비를 계산하는 단계에서 어려움이 있는지에 따라 도움의 양을 조절합니다.

새 적용 문제로 “두 직사각형이 모두 네 각이 직각이면 반드시 닮은가? 2×3과 2×5를 비교하라”를 제시할 수 있습니다. 두 도형 모두 직사각형이므로 각은 일치하지만, 대응변의 비는 2/2=1, 3/5로 서로 다릅니다. 따라서 이 경우에도 닮지 않습니다. 이전 문제와 바뀐 것은 변의 수치이며, 각의 일치만으로 부족하고 대응변 비를 확인해야 한다는 방법은 그대로 적용됩니다.

필요하다면 다음 비교로 길이의 비와 넓이의 비를 구분합니다. 한 변이 1cm인 정사각형을 한 변이 10cm인 정사각형으로 확대하면 길이의 배율은 10이지만 넓이는 1cm²에서 100cm²가 되어 100배입니다. 대응변이 n배일 때 넓이가 n배라고 일반화할 수는 없고, 정사각형처럼 두 길이 방향이 모두 n배가 되는 조건에서 넓이는 n²배가 됩니다. 다음 수업에서는 학생이 풀이와 정답을 보지 않은 상태에서 새 조건의 대응변 비를 스스로 비교하고, 닮음 여부의 근거를 설명하는지를 확인합니다.