청수동 수학과외

48의 소인수분해에서 생긴 혼동

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. “48의 서로 다른 소인수를 모두 쓰라”는 문제에 학생이 “2, 2, 2, 2, 3으로 다섯 개다”라고 썼습니다. 48을 소수로 나누어 가는 과정 자체는 2가 네 번, 3이 한 번 나온다는 뜻이므로 48 = 2⁴ × 3으로 나타낼 수 있습니다. 다만 문제에서 요구한 것은 소인수가 곱해진 총횟수가 아니라 ‘서로 다른’ 소인수의 종류입니다. 따라서 같은 2를 네 번 적어 개수를 세는 것과, 어떤 소수가 사용되었는지 종류를 세는 것은 서로 다른 판단입니다.

이때 처음 답이 틀렸다는 사실만으로 계산 실수라고 단정하지 않습니다. 교사는 “2를 네 번 적은 이유가 무엇인지”, “문제에서 모두 쓰라고 한 대상이 소인수의 종류인지, 반복을 포함한 전체 개수인지”를 차례로 묻습니다. 학생이 소인수분해의 뜻은 설명하지만 ‘서로 다른’이라는 조건을 놓쳤다면 조건 해석을 먼저 고칩니다. 반대로 48을 소수로 나누는 과정에서 식이 달라졌다면 처음 달라진 계산부터 함께 확인합니다.

문제의 조건에 맞춰 두 가지를 나누어 세기

교사는 48을 소인수로 끝까지 나누어 얻은 결과를 지수로 정리합니다. 48은 2로 네 번 나누고 3으로 한 번 나누어지므로 48 = 2⁴ × 3입니다. 여기서 2⁴의 지수 4는 2가 곱해진 횟수를 뜻하고, 3의 지수 1은 3이 한 번 곱해졌다는 뜻입니다. 이 표현에서 실제로 등장하는 소수의 종류는 2와 3, 두 가지입니다.

학생이 설명을 바로 이어 가기 어려우면 교사는 2를 네 번 적은 부분을 먼저 함께 묶어 2⁴로 바꾸어 보입니다. 그런 다음 “지수는 반복된 횟수이고, 밑은 어떤 소수인지 나타낸다”는 점을 짚습니다. 학생은 남은 3을 확인하고, 문제의 ‘서로 다른’이라는 말을 기준으로 밑만 한 번씩 적어 소인수의 종류를 2와 3으로 정리합니다. 따라서 이 문제의 답은 2, 3입니다.

수정 풀이를 가리고 다시 확인하는 과정

설명을 들은 뒤에는 수정 풀이와 정답을 가리고, 문제의 문장과 수치만 보면서 학생이 다시 시작하도록 합니다. 학생은 먼저 48을 2⁴ × 3으로 나타낸 뒤, “반복을 포함한 소인수의 총개수는 다섯 개지만, 서로 다른 소인수의 종류는 두 가지”라고 구분해 답합니다. 처음의 2, 2, 2, 2, 3이라는 기록을 모두 버리는 것이 아니라, 그 기록이 보여 주는 반복 횟수와 문제에서 요구한 종류를 분리하는 것입니다.

검산할 때는 같은 분해를 장황하게 반복하지 않고 조건을 나누어 확인합니다. 2와 3은 실제로 48을 나누는 소수이고, 4와 6은 48의 약수이지만 소수가 아니므로 소인수의 종류로 셀 수 없습니다. 또한 2를 네 번 적은 것은 총개수에 해당할 뿐 ‘서로 다른’이라는 조건의 답이 될 수 없습니다. 학생이 다시 풀지 못한다면 개념을 구분하지 못한 것인지, 48의 분해 과정에서 막힌 것인지 확인해 다음 설명의 범위를 조절합니다. 다른 풀이를 사용하더라도 조건과 계산이 맞으면 같은 답으로 인정합니다.

108에 적용하고, 소인수의 종류만으로 수를 판단하지 않기

다음 적용 문제는 108 = 2² × 3³에서 소인수의 종류와 곱해진 총개수를 구별하는 것입니다. 기본 문제와 달리 수와 지수가 바뀌었지만, 먼저 밑을 종류로 보고 지수는 반복 횟수로 읽는 방법은 그대로 적용할 수 있습니다. 소인수의 종류는 2와 3으로 두 가지이고, 반복을 센 총개수는 2 + 3 = 5개입니다. 학생이 이 두 답을 각각 문제의 질문과 연결해 말하는지 확인합니다.

필요하다면 비교 자료로 192와 384를 살펴볼 수 있습니다. 192 = 2⁶ × 3, 384 = 2⁷ × 3이므로 두 수의 소인수 종류는 모두 2와 3으로 같습니다. 그러나 지수가 다르기 때문에 두 수는 같지 않습니다. 이 비교는 소인수의 종류가 같다는 사실만으로 두 수가 같다고 결론 내릴 수 없음을 확인하는 데 사용합니다. 다음 수업에서는 학생이 108의 문제를 풀이와 정답을 가린 상태에서 다시 해결하고, 소인수의 종류와 반복 횟수의 차이를 새 조건에서도 설명하는지를 확인합니다.