청당동 수학과외

대표 문제와 처음 어긋난 판단

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. 문제는 ab+a를 인수분해하라는 것이고, 처음 답은 “a×b다.”였습니다. 이 답은 첫째 항 ab만 나타낼 뿐, 원래 식의 둘째 항 a를 포함하지 못합니다. 따라서 두 항의 합을 하나의 곱으로 바꾸는 과정에서 어떤 공통인수를 묶어야 하는지, 괄호 안에 각 항의 몫을 어떻게 써야 하는지가 충분히 반영되지 않았습니다.

다만 이 오답 하나만으로 학생이 분배법칙을 모른다고 단정하지는 않습니다. 문제의 요구를 ‘계산하라’고 잘못 읽었는지, a를 공통인수로 보지 못했는지, 또는 괄호 안에 남을 식을 빠뜨린 계산 실수인지 풀이 과정을 나누어 확인합니다.

공통인수를 찾는 확인과 교사의 설명

교사는 먼저 “두 항 ab와 a에 공통으로 들어 있는 인수는 무엇일까?”라고 묻고, 학생이 바로 설명하기 어렵다면 두 항에서 a를 각각 떼어 내 보입니다. ab에서 a를 나누면 b가 남고, a에서 a를 나누면 1이 남습니다. 여기서 같은 인수 a를 묶으면 괄호 안에는 각 항을 a로 나눈 결과가 차례로 들어간다는 점을 확인합니다.

따라서 ab+a는 a×b+a×1로 다시 쓸 수 있고, 두 항에 공통인 a를 묶으면 a(b+1)이 됩니다. 괄호 안의 1은 생략하면 안 됩니다. 둘째 항 a가 a×1로 표현되기 때문입니다. 교사는 이 부분을 한 단계 함께 써 준 뒤, 학생이 처음의 a×b에서 무엇을 고쳐야 하는지 직접 이어서 정리하도록 돕습니다.

학생의 수정 풀이와 검산

학생은 대표 문제를 다시 풀면서 ab+a에서 두 항 모두에 a가 들어 있다는 점을 표시하고, ab=a×b, a=a×1로 바꿉니다. 그런 다음 공통인수 a를 앞에 묶어 a(b+1)이라고 답합니다. 처음 답과 비교하면 a×b만 남긴 것이 아니라, 두 번째 항에서 a로 나누어 남은 1까지 괄호에 포함한 것이 달라진 점입니다.

정답은 분배법칙으로 검산할 수 있습니다. a(b+1)을 두 항에 분배하면 a×b+a×1=ab+a가 되어 원래 식과 일치합니다. 이 검산은 같은 인수분해를 반복하는 것이 아니라, 새로 얻은 곱을 전개하여 두 항의 계수와 항이 모두 보존되었는지 확인하는 과정입니다. 풀이와 정답을 가린 뒤 같은 문제를 다시 시작하게 하고, 혼자 막히면 개념 설명이 필요한지 계산 단계에서 막힌 것인지에 따라 도움을 조절합니다.

새 식에 적용하고 다음 판단을 확인하기

새 적용 문제로 7x²-7x를 7x로 묶을 때 괄호의 상수항을 확인해 볼 수 있습니다. 두 항을 7x의 배로 나타내면 7x²=7x×x이고, -7x=7x×(-1)이므로 7x²-7x=7x(x-1)입니다. 따라서 괄호의 상수항은 -1입니다. 앞 문제의 a(b+1)과 모양이 같다고 외우는 것이 아니라, 공통인수로 묶은 뒤 각 항에서 남은 식을 확인해야 합니다.

필요하다면 x²+19x+90을 (x-9)(x-10)으로 나타낼 수 있는지도 비교합니다. 전개하면 (x-9)(x-10)=x²-19x+90이므로 주어진 일차항의 부호와 맞지 않습니다. 올바른 인수분해는 (x+9)(x+10)=x²+19x+90입니다. 두 인수의 상수항 곱만 맞추는 것으로는 충분하지 않고, 전개했을 때 일차항까지 원래 식과 일치해야 합니다. 다음 확인에서는 학생이 수정 풀이를 가리고 ab+a와 7x²-7x를 각각 다시 해결한 뒤, 공통인수와 괄호 안의 각 항이 무엇을 뜻하는지 설명할 수 있는지를 살펴봅니다.