신방동 고등수학과외

끝값이 같다는 판단에서 빠진 조건 찾기

미분가능 가정이 깨지는 문제에서는 답의 모양보다 먼저 정리가 요구하는 조건을 확인해야 한다. 예를 들어 f(x)=|x|에 대하여 구간 [−1,1]에서 f′(c)=0인 c∈(−1,1)이 존재하는지 판단하라. 이렇게 답했다면 “끝값이 같으니 롤의 정리에 따라 c=0이다”라는 결론은 평균변화율이 0이라는 사실만 보고 내린 것이다. 실제로 f(−1)=1, f(1)=1이므로 끝값은 같지만, 롤의 정리는 닫힌구간에서 연속이고 열린구간 전체에서 미분가능해야 적용할 수 있다. 따라서 x=0에서 도함수가 존재하는지 먼저 확인해야 한다.

도함수의 값과 정리의 가정을 따로 대조하기

학생이 직접 식을 나누어 쓰면 f(x)=−x(x<0), f(x)=x(x≥0)이고, 0보다 작은 점에서는 f′(x)=−1, 0보다 큰 점에서는 f′(x)=1이다. 이제 x=0의 좌미분계수와 우미분계수를 계산해 각각 −1과 1임을 표시하면 두 값이 다르므로 f′(0)은 존재하지 않는다. 그러므로 열린구간 (−1,1) 전체에서 미분가능하다는 롤의 정리의 가정이 성립하지 않는다. 미분가능한 모든 점에서 도함수는 −1 또는 1뿐이므로 f′(c)=0인 c도 없다. 여기서 확인할 원인은 오답 하나만으로 단정하지 않는다. “x=0에서 도함수가 존재하는가?”, “끝값이 같은 것과 열린구간 전체의 미분가능성은 같은 조건인가?”라고 묻고, 학생이 직접 좌우의 기울기와 정리의 가정을 대조하게 한다. 증가·감소를 말할 때도 한 점의 기울기만으로 구간 전체를 판단하지 않고, 왼쪽과 오른쪽의 도함수 부호를 각각 조사한다.

조건이 유지된 문제와 바뀐 문제를 다시 비교하기

고친 결론은 “그런 c는 없으며, 롤의 정리를 적용할 수 없다”이다. 이후 풀이와 정답을 가린 상태에서 다음 문제를 다시 시작한다. f(x)=x², 구간 [1,3]에서 평균값 정리를 만족하는 c∈(1,3)을 구하라. 먼저 평균변화율을 직접 계산하면 (f(3)−f(1))/(3−1)=(9−1)/2=4이다. 다항함수인 f는 [1,3]에서 연속이고 (1,3)에서 미분가능하므로 평균값 정리를 적용할 수 있다. f′(c)=2c와 평균변화율을 같게 놓아 2c=4, c=2를 얻는다. 2는 (1,3)에 속하고, 접선의 기울기 2c=4가 할선의 기울기 4와 일치하므로 검산도 된다. 앞 문제와 이 문제는 평균변화율과 순간변화율을 비교한다는 표현은 같지만, 첫 문제는 x=0에서 미분가능성이 깨졌고 두 번째 문제는 다항함수라 조건이 유지된다. 따라서 같은 풀이 틀을 기계적으로 반복하지 말고, 구간 안의 필수 조건이 실제로 성립하는지 먼저 표시해야 한다. 배움노트 고등수학 수업에서는 다음 풀이에서 첫 안내 단계를 지운 뒤, 미분가능성의 성립 여부와 그 이유를 학생이 직접 작성하도록 하며, 한 점의 기울기로 구간 전체를 말하려 할 때는 인접한 구간의 부호를 다시 나누어 확인하게 한다.