작전지구 중등수학과외

한 학생이 삼각형 ABC에서 ∠A=48°, ∠B=67°이고, 변 BC를 C 너머로 D까지 연장했을 때 ∠ACD를 구하는 문제를 풀고 있었다. 학생의 답안에는 “외각=67+65=132°”라고 적혀 있었다. 작전지구중등수학과외 수업에서는 이 답을 바로 지우지 않고, 먼저 65°가 어디에서 나온 값인지와 132°를 어떤 관계로 만들었는지 확인한다.

“외각과 떨어진 두 내각은 어느 꼭짓점인가?”

교사는 학생에게 짧게 물었다. “∠ACD가 외각이라면, 이 외각과 이웃하지 않은 두 내각은 어느 꼭짓점에 있지?” 학생은 C에서 변을 연장했으므로 ∠ACD가 C의 외각이라는 점은 말했지만, A와 B를 선택해야 한다는 기준에서는 잠시 멈췄다. 이 장면만으로 삼각형의 외각 개념 전체를 모른다고 단정하지 않고, 외각의 위치를 말로 고르는 단계와 실제 식을 세우는 단계를 나누어 살핀다.

교사는 65°를 얻은 과정을 먼저 대조했다. 삼각형의 세 내각의 합이 180°이므로 ∠C=180°−48°−67°=65°이다. 여기까지의 계산은 맞다. 다만 학생은 이웃한 내각인 ∠C를 외각에 더하면서 67+65를 계산했다. 교사는 도형에서 C와 A, B를 각각 표시한 뒤 한 단계만 설명했다. “C의 외각에는 A와 B의 내각을 더해.” 이후 어떤 각을 선택할지는 학생이 직접 말하고 쓰게 한다.

인접 내각이 아니라 A와 B를 고르는 수정

학생은 ∠ACD와 이웃하지 않은 두 내각이 ∠A와 ∠B임을 표시했다. 처음 풀이에서 사용한 65°는 삼각형 안의 ∠C였고, 외각과 한 변을 함께 이루는 인접 내각이라는 점도 확인했다. 학생은 답안의 첫 줄을 고쳐 ∠C=180°−48°−67°=65°라고 적은 뒤, 외각을 구하는 식은 ∠ACD=180°−65°=115°로 정리했다. 처음에는 67°와 65°를 더했지만, 수정한 풀이에서는 65°를 외각에 더하지 않고 먼저 삼각형의 내각으로 확인한 다음 외각과의 일직선 관계를 사용했다.

교사는 학생에게 “이번에는 외각과 떨어진 두 내각만 골라서 바로 확인해 봐.”라고 말했다. 학생은 ∠A와 ∠B를 다시 가리키며 48°+67°=115°라고 계산했다. 이 값이 방금 구한 ∠ACD와 일치하므로, 검산은 같은 뺄셈을 반복하는 대신 떨어진 두 내각의 합을 이용해 진행되었다. 따라서 이 문제의 결론은 ∠ACD=115°이다.

외각이 주어졌을 때 거꾸로 구하기

조건을 바꾼 새 문제를 제시한다. 삼각형 ABC에서 BC를 C 너머로 D까지 연장한 외각 ∠ACD=120°이고 ∠A=50°일 때 ∠B를 구하는 문제다. 여기서는 외각을 구하는 것이 아니라 외각과 한 내각으로 다른 내각을 역으로 구한다. 달라진 것은 구해야 하는 대상과 주어진 값이며, 유지되는 원리는 외각이 그 외각과 이웃하지 않은 두 내각의 합과 같다는 관계다.

학생은 먼저 외각과 떨어진 두 내각이 ∠A와 ∠B임을 직접 표시하고 120°=50°+∠B라고 적는다. 따라서 ∠B=120°−50°=70°이다. 이어서 이웃한 내각은 ∠C=180°−120°=60°로 구한다. 마지막으로 50°+70°+60°=180°이고, 떨어진 두 내각의 합도 50°+70°=120°이므로 조건과 맞는다.

다음 확인에서는 처음 문제의 조건인 ∠A=48°, ∠B=67°와 BC를 C 너머로 연장한 상황을 그대로 제시하되, 학생의 오답과 수정 풀이를 가린다. 학생이 도움 없이 ∠ACD와 이웃하지 않은 두 내각으로 A와 B를 고르고, 48°+67°=115°를 적은 뒤 ∠ACD=115°라고 설명하는지 확인한다. 새 문제에서는 외각 120°와 ∠A=50°를 보고 ∠B=70°를 역으로 구하는지도 함께 살핀다. 필요할 때는 “C의 외각에는 A, B의 내각을 더해.”라는 한 관계만 되짚고, 다음 식과 각의 선택은 학생이 결정하게 한다.