차암지구 고등수학과외

오답에서 먼저 사라진 조건 찾기

“log₃18−log₃2를 계산하라”는 문제를 보고 이렇게 답했다면, log₃16이라는 결과가 어디에서 나왔는지 바로 단정하지 않는다. 먼저 문제에 주어진 밑 3과 진수 18, 2를 다시 표시하고, 로그의 뺄셈이 진수의 어떤 연산에 대응하는지 묻는다. 밑이 같은 로그의 차는 진수의 차가 아니라 몫으로 이어진다. 따라서 18−2를 계산해 16을 만든 것은 문제의 구조와 맞지 않는다. 다만 이 한 번의 오답만으로 곱셈 법칙을 잘못 사용했다고 확정하지 않고, 학생이 밑과 진수의 조건을 알고 있는지도 함께 확인한다.

로그의 정의 logₐb=c는 aᶜ=b라는 뜻이고, 밑은 a>0, a≠1, 진수는 b>0이어야 한다. 이 조건 안에서 logₐu−logₐv=logₐ(u/v)가 성립한다. 교사는 log₃18−log₃2를 log₃(18/2)로 묶는 첫 단계까지만 제시한 뒤, 왜 뺄셈이 몫으로 바뀌는지와 그다음 결론은 학생이 완성하게 한다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서도 기호를 옮기는 데 그치지 않고, 정의와 성립 조건을 함께 표시하도록 한다.

정의로 되돌아가 수정 풀이 완성하기

학생은 18/2=9를 계산한 뒤 log₃9=2라고 직접 적는다. 이때 정답만 확인하지 않고 3²=9인지 대조한다. 그러면 log₃18−log₃2가 log₃9와 같은 값을 갖는다는 점이 로그의 차의 성질과 정의 양쪽에서 확인된다. 진수 18과 2는 모두 양수이고 밑 3은 양수이면서 1이 아니므로, 해당 성질을 적용할 조건도 충족한다. 반대로 log₃16은 18/2가 아니라 18−2를 사용한 결과이므로, 실제로 주어진 식이 뜻하는 값과 일치하지 않는다.

교사가 적어 준 log₃(18/2)라는 중간식을 가린 뒤에는 학생이 “같은 밑의 로그 차는 진수의 몫”이라는 판단과 이유를 스스로 쓰게 한다. 이어 3²=9라는 부분 검산을 남겨, 계산 결과가 정의와 연결되는지 확인한다. 수치 하나를 대입한 검산은 이 문제의 결론을 확인하는 데 쓰되, 로그 성질 자체는 양의 진수와 허용된 밑이라는 일반 조건에서 성립한다는 점도 구분한다.

표현이 달라져도 대응 관계 옮기기

다음에는 문제와 조건만 남긴다. 양의 진수 3과 5, 밑 2가 주어진 상태에서 log₂3+log₂5를 하나의 로그로 나타내라는 문제를 풀이와 정답을 가린 채 시작한다. 학생은 이번에는 합이 곱에 대응한다는 기준을 먼저 적고, logₐu+logₐv=logₐ(uv)를 적용해 log₂(3·5)=log₂15를 얻는다. 3과 5가 양수이므로 성질의 진수 조건도 만족한다.

여기서는 숫자와 연산이 바뀌었지만, 같은 밑의 로그를 하나로 묶고 진수의 연산을 판단한다는 핵심은 유지된다. 마지막으로 2의 두 로그값의 합을 지수로 나타내면 3·5=15가 되어 log₂15와 같은 값을 가리키는지 확인한다. 처음 단계와 유도 표시를 지운 독립 재적용에서 학생이 차는 몫, 합은 곱으로 구별하고, 로그 기호를 지수식으로 바꾸어 같은 값을 대조한다면 다음 학습에서는 로그 성질을 표현 변화와 조건 변화 속에서도 안정적으로 사용할 수 있는지 점검할 수 있다.