천안 수학과외

“1과 자기 자신으로 나누어지므로 소수다”라는 오답

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. “1은 소수인가? 양의 약수의 개수로 설명하라.” 학생은 “1과 자기 자신으로 나누어지므로 소수다.”라고 답했습니다. 이 문제에서 먼저 확인할 것은 나누어지는지 여부만이 아니라, 서로 다른 양의 약수가 정확히 두 개인지입니다. 소수는 1보다 큰 자연수 중 양의 약수가 정확히 두 개인 수이므로, ‘1과 자기 자신’이라는 표현을 모든 수에 그대로 적용할 수 없습니다.

1을 나누어떨어지게 하는 양의 자연수를 직접 세면 1뿐입니다. 1×1=1이므로 인수쌍으로 확인해도 서로 다른 양의 약수는 {1} 하나입니다. 따라서 1은 약수가 정확히 두 개라는 조건을 만족하지 않으며, 소수가 아닙니다.

어느 판단에서 어긋났는지 함께 구분하기

교사는 오답만 보고 계산 실수라고 단정하지 않고, 학생이 왜 그렇게 판단했는지 먼저 살핍니다. “소수의 조건에서 반드시 확인해야 하는 수는 무엇일까?”라고 묻고, 1의 양의 약수를 직접 적어 보게 합니다. 학생이 ‘약수의 개수를 세는 것이 소수의 정의를 적용하는 단계’라는 점은 설명할 수 있지만 1에 적용하는 과정에서 결과가 달라졌다면, 개념을 전혀 모르는 것인지 처음 세운 판단을 잘못 연결한 것인지 나누어 볼 수 있습니다.

학생이 이유를 바로 설명하지 못하면 교사가 1을 나누어떨어지게 하는 양의 수를 먼저 한 단계 함께 찾습니다. 그다음 “1과 자기 자신이 서로 다른 수인가?”를 확인하게 합니다. 여기서 1에서는 두 이름이 같은 수를 가리킨다는 점을 짚습니다. 문제의 조건은 ‘두 개의 이름’이 아니라 ‘서로 다른 양의 약수 두 개’이므로, 같은 약수를 두 번 세어서는 안 됩니다.

약수를 직접 세어 수정 풀이 만들기

학생은 처음 답에서 ‘1과 자기 자신으로 나누어지면 소수’라고 판단한 부분을 바꾸어, 먼저 1의 양의 약수를 모두 적습니다. 1의 양의 약수는 1 하나뿐이므로 약수의 개수는 1개입니다. 소수가 되려면 1보다 크고 서로 다른 양의 약수가 정확히 2개여야 하지만, 1은 1보다 큰 자연수도 아니고 약수도 한 개뿐입니다. 따라서 결론은 1은 소수가 아니다입니다.

이때 학생이 답만 고쳐 쓰는 것으로 끝내지 않고, “1은 자기 자신으로 나누어지지만, 1과 자기 자신이 서로 다른 약수가 아니어서 약수가 한 개뿐이다.”라고 문제의 조건과 연결해 설명하도록 합니다. 풀이 순서를 따라 적은 뒤에는 수정 풀이와 정답을 가리고, 문제의 조건만 보면서 다시 시작하게 합니다. 혼자 이어 가지 못하면 교사는 약수 하나를 찾는 단계까지만 함께 풀고, 약수의 개수와 소수 여부를 판단하는 단계는 학생이 다시 시도하도록 도움을 조절합니다.

검산과 새 카드 문제에 적용하기

검산은 같은 풀이를 반복하는 대신 인수쌍으로 확인합니다. 1×1=1이라는 인수쌍만 있으므로 서로 다른 약수는 1개입니다. 원래 조건인 ‘양의 약수의 개수’를 다시 대입해도 1개라는 결과가 같으므로, 소수가 아니라는 결론과 일치합니다. 이후 학생이 수정 풀이를 가린 상태에서 1의 약수를 다시 세고, 왜 소수가 아닌지 근거를 말할 수 있는지를 확인합니다.

새 적용 문제로 소수 카드 묶음에 1, 2, 3을 넣었다고 하겠습니다. 잘못 넣은 카드를 찾으려면 각 수의 양의 약수 개수를 세어야 합니다. 1은 {1} 하나뿐이고, 2는 {1, 2}, 3은 {1, 3}으로 각각 두 개입니다. 따라서 잘못 넣은 카드는 1이며, 정확히 두 개의 서로 다른 양의 약수를 가져야 한다는 소수의 정의를 만족하지 않기 때문에 빼야 합니다.

필요하다면 “1과 자기 자신으로 나누어지면 언제나 서로 다른 약수가 두 개다”라는 설명을 1과 2에 비교해 확인할 수 있습니다. 1에서는 두 표현이 같은 약수 하나를 가리키지만, 2에서는 1과 2가 서로 다른 약수입니다. 다음 수업에서는 학생이 수치가 바뀐 문제에서도 먼저 약수를 직접 세고, 약수의 개수와 정의를 근거로 결론을 내리는지 확인합니다.