천안 고등수학과외

“감소하지만 아래로 볼록하다”는 말을 알고 있는 것과, 주어진 함수에 그 판단 기준을 실제로 적용하는 것은 다르다. 미적분Ⅱ에서 그래프의 방향을 판단할 때는 원함수의 변화와 기울기의 변화를 나누어 살펴야 한다. 특히 일계도함수와 이계도함수는 서로 다른 정보를 주므로, 한 식의 부호만 보고 증가·감소와 볼록성을 한꺼번에 결정하지 않도록 해야 한다.

처음 쓴 답에서 어떤 기준이 바뀌었는가

함수 f(x)=e^−x (x∈R)의 증가·감소와 볼록성을 판단하는 상황을 생각해 보자. 이렇게 답했다면 “f″(x)>0이므로 증가한다”라고 썼을 수 있다. 그러나 원함수의 증가·감소를 결정하는 것은 일계도함수 f′의 부호이고, 이계도함수 f″는 기울기가 어느 방향으로 변하는지와 볼록성을 판단할 때 사용한다. 따라서 먼저 처음 쓴 식과 답을 나란히 대조하며, 어떤 도함수를 기준으로 삼았는지 확인해야 한다.

교사는 곧바로 오답의 원인을 하나로 확정하지 않는다. “원함수의 증감을 결정하는 도함수는 무엇인가?”, “지금 쓴 f″는 함수값의 변화와 기울기의 변화 중 무엇을 설명하는가?”라고 묻는다. 학생은 f′와 f″를 직접 다시 계산하고, 각각의 부호 옆에 ‘증가·감소’와 ‘볼록성’이라는 판단 대상을 표시한다. 도함수가 0인 점이 보인다면 그 점만으로 극값이나 변곡점을 단정하지 않고, 좌우 구간의 부호 변화와 실제 그래프의 볼록성 변화까지 확인해야 한다.

두 도함수를 따로 계산하고 그래프와 대조하기

이 함수는 모든 실수에서 정의되며, f′(x)=−e^−x<0이다. 따라서 전체 정의역에서 함수는 감소한다. 한편 f″(x)=e^−x>0이므로 기울기는 점점 0에 가까워지고, 그래프는 아래로 볼록하다. 여기서 수치 하나를 대입해 결론을 정하는 것이 아니라, e^−x가 모든 실수에서 양수라는 일반적인 성질로 부호를 설명해야 한다.

학생이 수정할 때는 “f′의 부호가 음수이므로 감소, f″의 부호가 양수이므로 아래로 볼록”이라고 두 문장으로 나누어 쓴다. 음의 기울기를 가진 그래프가 오른쪽으로 갈수록 기울기 0에 가까워지는 방향과도 대조한다. 이 과정에서 계산, 부호 표시, 말로 된 결론을 학생이 직접 연결해야 하며, 교사는 판단 기준을 보여 주되 답의 선택을 대신하지 않는다.

조건만 남긴 상태에서 다른 함수에 다시 적용하기

다시 시작할 때는 풀이와 정답을 보이지 않게 하고, 문제와 필수 조건만 남긴다. 예를 들어 “f(x)=ln x, x>0의 증가·감소와 볼록성을 판단하라”는 식과 정의역만 확인한 뒤, 학생이 필요한 도함수를 처음부터 세우게 한다. 앞 문제의 표현을 바꾼 것인지, 함수와 정의역이 실제로 달라진 것인지 먼저 구별하는 것도 중요하다.

학생은 f′(x)=1/x>0, f″(x)=−1/x²<0을 각각 적고, 정의역 x>0에서 두 부호가 성립함을 표시한다. 그러므로 함수는 증가하고 위로 볼록하다. 함숫값은 증가하지만 접선의 기울기는 줄어든다는 두 사실을 함께 해석하면, 증가·감소와 볼록성을 같은 판단으로 처리하지 않게 된다. 마지막에는 “일계도함수는 무엇을 말하는가?”, “이계도함수는 무엇을 말하는가?”, “부호가 정의역 전체에서 성립하는가?”를 스스로 묻고, 외운 문장이 아니라 달라진 조건에서도 같은 기준으로 식을 세워 답했는지 확인한다.