동남구 수학과외

꼭짓점의 값과 구간의 최솟값은 다를 수 있습니다

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. 2≤x≤4에서 y=−(x−3)²+5의 최솟값은? 학생이 “꼭짓점의 5다.”라고 답했다면, 꼭짓점의 좌표를 구하는 과정 자체보다 문제에서 요구한 값과 구간을 어떻게 연결했는지 살펴볼 필요가 있습니다.

이 함수는 y=−(x−3)²+5이므로 꼭짓점은 (3, 5)입니다. 또한 x=3은 2≤x≤4를 만족하므로 꼭짓점은 주어진 구간 안에 있습니다. 다만 이차항의 계수가 음수이므로 그래프는 아래로 열리고, 꼭짓점의 함수값 5는 이 구간에서 가장 큰 값입니다. 문제는 최댓값이 아니라 최솟값을 묻고 있으므로 꼭짓점만 확인해서는 답을 정할 수 없습니다.

어느 판단에서 어긋났는지 함께 확인합니다

교사는 처음부터 오답의 원인을 계산 실수라고 단정하지 않고, “5는 이 문제에서 무엇을 나타내며, 문제는 최댓값과 최솟값 중 어느 것을 묻고 있나요?”라고 묻습니다. 학생이 꼭짓점의 의미는 설명하지만 최솟값을 고르는 이유를 말하기 어렵다면 개념 적용과 문제의 요구를 구분해 확인합니다. 반대로 최댓값과 최솟값을 알고도 계산 결과가 달라진다면 x=2와 x=4를 대입하는 과정에서 식을 잘못 계산했는지 살펴봅니다.

교사는 꼭짓점과 양 끝점을 나란히 비교하도록 안내합니다. 꼭짓점에서는 x=3일 때 y=5이고, 구간의 끝점에서는 x=2일 때 y=−(2−3)²+5=4, x=4일 때 y=−(4−3)²+5=4입니다. 따라서 비교할 값은 5, 4, 4이며, 이 중 가장 작은 값은 4입니다.

설명 뒤 학생이 풀이를 다시 구성합니다

학생이 설명을 한 번에 이해하기 어렵다면 교사는 꼭짓점의 5를 먼저 최댓값으로 표시하고, 양 끝점 중 하나인 x=2를 함께 계산해 봅니다. 그다음 x=4의 계산은 학생이 직접 이어 가도록 합니다. 학생은 처음의 “꼭짓점의 5”라는 판단에서, 꼭짓점은 이 문제에서 최댓값을 주지만 최솟값은 양 끝점과 비교해야 한다는 점으로 풀이를 고칩니다.

학생의 수정 풀이는 다음과 같이 정리됩니다. x=3에서는 y=5이고, x=2와 x=4에서는 각각 y=4입니다. 주어진 구간 안에서 비교한 결과 최댓값은 5, 최솟값은 4이므로 문제의 답은 4입니다. 이때 중요한 변화는 숫자 4를 적었다는 사실이 아니라, 최솟값을 구하기 위해 꼭짓점과 두 끝점을 모두 비교했다는 점입니다.

조건에 대입해 결과를 확인하고 새 문제에 적용합니다

검산할 때는 같은 풀이를 그대로 반복하지 않고 제곱항의 범위를 확인할 수 있습니다. 2≤x≤4이면 −1≤x−3≤1이므로 0≤(x−3)²≤1입니다. 따라서 −1≤−(x−3)²≤0이고, 여기에 5를 더하면 4≤y≤5입니다. 실제로 구간 안의 함수값이 4와 5 사이에 있으므로 최솟값 4라는 결론과 맞습니다. 이후에는 풀이와 답을 가리고 문제와 조건만 보면서 학생이 꼭짓점의 역할과 끝점 비교를 다시 구성하는지 확인합니다.

새 적용 문제로 y=−(x+2)²+5, −4≤x≤0의 최댓값과 최솟값을 살펴봅니다. 식이 바뀌었지만 아래로 열린 함수라는 점과 꼭짓점 및 양 끝점을 비교한다는 방법은 이 문제의 조건에서 그대로 사용할 수 있습니다. 꼭짓점은 (−2, 5)이고 −2는 주어진 구간에 포함되므로 최댓값은 5입니다. x=−4와 x=0에서는 각각 y=1이므로 최솟값은 1입니다.

학생이 새 조건에서도 꼭짓점만 답으로 쓰지 않고, 최댓값과 최솟값을 구분해 끝점까지 확인하는지가 다음 확인 기준입니다. 필요하다면 0≤x≤3에서 y=−(x−1)²+5도 비교할 수 있습니다. 꼭짓점의 값은 최댓값 5이지만, 끝점의 함수값은 각각 4와 1이므로 최솟값은 x=3에서 1입니다. 이 비교를 통해 아래로 열린 이차함수라도 꼭짓점만으로 구간의 최솟값을 정할 수는 없다는 점을 조건과 함께 다시 확인합니다.