흥덕구 중등수학과외

“두 자료의 수가 모두 커졌다면 흩어진 정도도 반드시 커졌다고 말할 수 있을까?” 흥덕구중등수학과외 수업에서 교사는 중3 학생에게 먼저 이 질문을 던졌다. 학생은 숫자의 크기만 보고 판단하지 않고, 평균에서 각 값이 얼마나 떨어져 있는지를 기준으로 설명해야 했다. 교사는 답을 바로 알려 주지 않고 “최댓값과 최솟값의 차가 달라졌니?”라고 물으며 학생이 자료의 간격을 직접 확인하도록 했다.

2, 4, 6과 7, 9, 11의 간격 비교

교사는 자료 A가 2, 4, 6이고 자료 B가 각 값에 5를 더한 7, 9, 11이라는 조건을 제시했다. 학생은 처음에 “B의 수가 더 커서 분산도 더 크다.”라고 적었다. 이 답만 보고 곧바로 계산을 못한다고 단정하지 않고, 어떤 기준으로 분산을 판단했는지 확인했다. 학생은 큰 수가 모여 있으면 자료가 더 흩어진다고 생각했다고 설명했다.

이때 교사는 두 자료의 최댓값과 최솟값을 비교하게 했다. A에서는 6−2=4이고, B에서는 11−7=4이다. 최댓값과 최솟값의 차가 그대로라는 사실을 확인한 뒤, 교사는 “평균에서 떨어진 거리도 달라졌을까?”라고 한 번 더 물었다. 학생이 이 질문에 바로 답하지 못하면 개념을 다시 확인하고, 차이는 같다고 말하지만 분산값만 다르게 계산하면 계산 과정을 한 줄씩 살핀다. 이렇게 판단 기준과 계산 실수를 구분해 확인한다.

자료 전체가 5만큼 이동한 경우

교사는 한 단계만 시범으로 보였다. A의 평균은 (2+4+6)÷3=4이고, B의 평균은 (7+9+11)÷3=9이다. B의 평균도 A보다 5만큼 이동했다. 따라서 A에서 평균을 뺀 편차는 2−4=−2, 4−4=0, 6−4=2이고, B에서 평균을 뺀 편차는 7−9=−2, 9−9=0, 11−9=2이다.

교사는 “자료 전체가 옮겨졌을 뿐 평균 주변 간격은 같아.”라고 설명한 뒤, 다음 계산은 학생에게 맡겼다. 학생은 처음의 ‘절대적인 수의 크기’와 ‘평균에서의 거리’를 구별해 다시 적었다. A의 편차 제곱 합은 4+0+4=8이므로 분산은 8÷3=8/3이다. B도 편차가 −2, 0, 2로 같으므로 편차 제곱 합이 8이고 분산은 8÷3이다. 학생은 “평균은 4에서 9로 바뀌었지만 분산은 두 자료 모두 8/3이다.”라고 수정했다.

대입이 아닌 편차로 확인한 결론

검산은 같은 분산 계산을 그대로 반복하지 않고 편차를 대응시켜 진행했다. B의 각 값에서 평균 9를 빼면 7−9=−2, 9−9=0, 11−9=2가 된다. 이는 A에서 평균 4를 뺀 2−4=−2, 4−4=0, 6−4=2와 정확히 같다. 학생은 숫자 자체가 커진 것과 평균 주변의 위치가 달라진 것을 구별해야 한다는 근거를 말로 설명했다.

교사는 대표 문제의 조건과 계산을 다시 제시하되, 학생의 오답과 수정 풀이, 정답은 가린 채 같은 과정을 혼자 재작성하게 할 수 있다. 그때 학생이 최댓값과 최솟값의 차를 먼저 비교하고, 평균을 구한 뒤 편차를 적는지 확인한다. 이 확인 전에는 판단이 완전히 바뀌었다고 단정하지 않고, 실제로 남긴 식과 설명을 근거로 다음 적용 문제를 제시한다.

더하기와 곱하기에서 달라지는 분산의 변화

새 문제에서는 자료 A가 2, 4, 6이고 자료 C가 각 값을 두 배한 4, 8, 12이다. 이번에는 자료 전체를 같은 수만큼 옮긴 것이 아니라 같은 수를 곱했으므로, 학생은 앞의 자료와 조건이 어떻게 다른지 먼저 표시해야 한다. A의 평균은 4, C의 평균은 (4+8+12)÷3=8이므로 평균은 두 배가 된다.

A의 편차 −2, 0, 2가 C에서는 4−8=−4, 8−8=0, 12−8=4로 각각 두 배가 된다. 따라서 C의 편차 제곱 합은 16+0+16=32이고, 자료 수가 3이므로 분산은 32÷3=32/3이다. 즉 평균은 4에서 8로 두 배가 되었지만 분산은 8/3에서 32/3으로 네 배가 된다. 다음 문제에서 학생이 절대적인 수의 크기와 평균에서의 거리를 구별하고, 같은 기준을 스스로 고르는지 확인한다. 막힐 때는 “자료 전체가 옮겨졌을 뿐 평균 주변 간격은 같다.”라는 관계만 되짚고, 더하기와 곱하기 중 어떤 변화인지와 편차의 배율은 학생이 직접 적게 한다.