임학동 중등수학과외

학생은 자료 A가 2, 4, 6이고 자료 B가 각 값에 5를 더한 7, 9, 11이라는 조건과 자신의 답안인 “B 분산=8/3+5=23/3.”을 나란히 놓았다. 교사는 바로 정답을 알려 주지 않고 “이 식이 자료 B의 조건을 만족할까?”라고 물었다. 임학동중등수학과외 수업에서는 계산 결과보다 어떤 양을 그대로 더했다고 판단했는지 먼저 확인하기로 했다.

7, 9, 11의 평균과 오답이 갈라진 지점

학생은 자료 A의 평균을 계산해 (2+4+6)÷3=4라고 적었다. 자료 B의 평균도 (7+9+11)÷3=27÷3=9로 구해 평균을 5만큼 올바르게 이동시켰다. 따라서 맞게 처리한 부분은 각 자료의 평균을 구하고, B의 평균이 A보다 5 크다는 사실을 확인한 점이다.

처음 판단이 달라진 곳은 분산이었다. 학생은 A의 분산 8/3에 값의 이동량 5를 그대로 더해 8/3+5=23/3이라고 썼다. 그러나 분산은 자료값 자체가 아니라 평균에서 얼마나 떨어져 있는지를 제곱해 계산한다. 이 한 줄만으로 계산 실수인지, 분산의 의미를 값의 이동과 같은 방식으로 처리한 것인지 단정하지 않기 위해 교사는 다음 질문을 던졌다. “B의 편차를 직접 구해 볼래?”

값과 평균이 함께 이동할 때 편차 확인하기

교사는 풀이 전체를 대신 쓰지 않고 한 관계만 짧게 보여 주었다. “값과 평균이 둘 다 5 커져 그 차는 유지된다.” 그런 다음 학생에게 이동 뒤 편차가 같은지 비교하게 했다. 학생은 자료 A의 평균 4를 기준으로 편차를 2−4=−2, 4−4=0, 6−4=2로 적었다. 이어 자료 B에서는 평균 9를 기준으로 7−9=−2, 9−9=0, 11−9=2라고 직접 계산했다.

두 자료의 편차가 각각 −2, 0, 2로 같다는 것을 확인한 뒤, 학생은 분산을 다시 계산했다. A의 편차 제곱 합은 (−2)²+0²+2²=8이고 자료 수가 3이므로 분산은 8÷3=8/3이다. B도 편차가 같으므로 제곱 합이 8이고, 분산 역시 8÷3=8/3이다. 수정한 결론은 A 평균 4, B 평균 9, 두 자료의 분산은 모두 8/3이다.

같은 계산을 반복하지 않는 검산과 배율 변화

검산은 B의 분산을 처음부터 다시 더하는 방식으로 하지 않았다. B의 각 값에서 평균 9를 빼면 −2, 0, 2가 되고, 이는 A에서 평균 4를 뺀 편차와 정확히 같다. 값과 평균에 같은 수를 더하면 편차가 변하지 않는다는 조건 대조가 수정 풀이와 일치하므로, B의 분산에 5를 더한 오답이 왜 성립하지 않는지도 함께 드러난다.

이제 조건을 바꾼다. 자료 A가 2, 4, 6이고 자료 C가 각 값을 두 배한 4, 8, 12일 때 두 자료의 평균과 분산을 비교한다. C의 평균은 (4+8+12)÷3=8로 A의 평균 4의 두 배다. C의 편차는 4−8=−4, 8−8=0, 12−8=4이므로 제곱 합은 16+0+16=32, 분산은 32÷3=32/3이다. 같은 수를 더할 때와 달리, 두 배의 배율 변화에서는 편차도 두 배가 되어 분산이 네 배가 된다.

다음 문제에서는 대표 문제의 조건만 남기고 기존 오답과 수정 풀이를 가린 뒤, 학생이 이동 뒤 편차가 같은지 먼저 비교하게 한다. 막히면 “값과 평균이 둘 다 5 커져 그 차는 유지된다.”까지만 다시 보여 주고, 이후 편차와 분산 계산은 직접 쓰게 한다. 교사는 학생이 정답만 반복하는지가 아니라, 값과 평균이 함께 이동해 편차가 유지되는 이유를 계산 줄과 말로 설명하는지 확인한다.