괴전동 중등수학과외

“A, B, C가 한 원 위의 서로 다른 점이고 ∠ACB=90°이다. AB가 지름인지 판단하라.” 학생은 먼저 이 문제를 읽고, 직각이 표시된 위치와 AB의 관계를 확인하려 했다. 교사는 “직각을 보는 현은 어떤 조건과 연결될까?”라고 물었다. 학생은 ∠ACB가 선분 AB를 바라보는 원주각이라는 점을 표시했다. 지름을 보는 원주각이 90°라는 사실을 거꾸로 적용하면, AB를 보는 원주각이 90°이므로 그 호의 중심각은 180°이다. 따라서 AB는 지름이다. 중심을 지나는 반원의 양 끝을 잇는 선분이 AB가 된다는 점까지 그림에 표시하면서, 지름에서 직각을 얻는 방향과 직각 원주각에서 지름을 판단하는 방향이 서로 반대임을 확인했다.

직각 원주각에서 AB가 지름이 되는 이유

처음 제시한 문제에서는 길이를 계산하지 않고, 원주각과 중심각의 관계를 판단 근거로 삼는다. 학생은 ∠ACB의 꼭짓점 C가 원 위에 있고, 두 변이 A와 B를 향한다는 사실을 적었다. 이어서 “AB를 보는 원주각이 90°이면 중심각은 몇 도인가?”라는 교사의 질문에 180°라고 답했다. 중심각이 180°인 현은 원의 중심을 지나므로 AB가 지름이라는 결론에 도달한다. 이 문제에서 유지되는 원리는 원주각과 그 원주각이 가리키는 현의 관계이고, 대표 문제와 달라진 점은 지름을 주어진 조건으로 사용하지 않고 직각 원주각에서 지름을 찾아야 한다는 것이다.

10cm를 반지름으로 읽은 순간 확인하기

이제 조건을 바꾼 문제를 살핀다. AB가 지름 10cm인 원 위에 C가 있고 A, B와 다르며, AC=6cm일 때 BC를 구하는 문항이다. 학생은 처음에 “빗변은 5cm이므로 조건이 불가능하다.”라고 적었다. 원의 중심에서 원 위의 점까지의 길이가 반지름이므로 10cm를 반으로 나누어 5cm라고 본 것이다. 그러나 삼각형 ACB에서 빗변은 직각의 맞은편 변인 AB이다. 교사는 “10cm가 지름인지 반지름인지 문제에서 다시 확인해 보자.”라고 짧게 물었다. 학생이 말로는 지름이라고 설명하면서 계산에는 5를 썼다면, 조건을 옮겨 쓰는 과정과 계산 과정을 따로 대조하기로 했다.

교사는 풀이 전체를 대신 쓰지 않고, “삼각형의 빗변은 어느 선분이지?”라고 다시 질문한 뒤 AB 전체를 손가락으로 짚었다. 필요한 설명은 한 단계로 제한했다. 삼각형의 빗변은 지름 AB 전체 10cm라는 관계를 확인한 뒤, 나머지 계산은 학생이 직접 이어 가게 했다. 학생은 지름을 보는 원주각이 직각이라는 점을 적용하여 ∠ACB=90°라고 썼다. 이어 직각삼각형에서 AC와 BC가 두 직각변이고 AB가 빗변임을 표시했다.

수정 풀이와 다른 방식의 검산

학생이 다시 작성한 식은 다음과 같다. BC²=10²−6²=100−36=64이므로, 길이는 양수여야 하기에 BC=8cm이다. 처음 풀이에서는 지름을 반지름으로 바꾸어 빗변을 5cm로 두었지만, 수정 풀이에서는 AB 전체 10cm를 빗변으로 유지했다. 정답만 다시 계산하는 대신 조건과 도형의 위치를 대조하면, 6²+8²=10²이 성립한다. 또한 직각은 지름 AB의 맞은편 원주 위 점 C에서 만들어진다. 계산 결과와 원의 성질이 동시에 맞으므로 BC=8cm라는 결론을 확인할 수 있다.

다음에는 대표 문항의 자료를 그대로 두되 기존 풀이와 정답을 가린 상태에서 학생이 처음부터 다시 시작한다. 풀이 첫 줄에 AB가 지름인지, 반지름인지 구분해 적고, ∠ACB=90°를 표시한 뒤 빗변을 10cm로 설정하는지를 관찰한다. 교사는 막히는 순간 “삼각형의 빗변은 지름 AB 전체 10cm다.”라고만 안내한다. 이후 학생이 직접 BC²=10²−6²을 완성하고, 마지막에 6²+8²=10²과 C의 위치를 근거로 계산이 조건과 맞는지 설명하는지를 확인한다.