괴전동 고등수학과외

빨강 공 2개와 파랑 공 2개가 있을 때 두 번 뽑고 매번 공을 돌려놓는다면, 빨강이 나올 확률은 매번 1/2로 같습니다. 따라서 빨강 횟수 X는 두 번의 독립시행에서 성공한 횟수이므로 이항분포가 됩니다. 반대로 공을 돌려놓지 않으면 첫 번째에 빨강이 나온 뒤 두 번째 빨강 확률은 1/3으로 바뀝니다. 이처럼 같은 대상과 횟수라도 복원 여부에 따라 이항분포 성립 여부가 달라집니다.

유한한 공의 개수와 이항분포 여부를 구분하기

이렇게 답했다면 어떨까요? “공의 개수가 유한하므로 이항분포가 아니다.” 공의 개수가 유한하다는 사실만으로는 결론을 내릴 수 없습니다. 확인할 것은 정해진 횟수, 매 시행의 성공확률, 시행 사이의 독립성입니다. 복원 추출에서는 매번 뽑은 공을 다시 넣고 섞으므로 두 번째에도 빨강 확률이 2/4로 유지됩니다. 학생은 ‘공의 개수’를 근거로 삼기보다, 매번 같은 확률로 독립 추출된다는 조건을 직접 표시해야 합니다.

횟수와 확률을 식으로 확인하는 풀이

교사는 먼저 시행 횟수가 2회이고 성공을 ‘빨강을 뽑는 것’으로 정하게 합니다. 복원 추출에서는 성공확률 p=1/2가 두 시행에 공통이며 독립이므로 X~B(2,1/2)입니다. 빨강이 두 번 나오는 경우는 두 시행 모두 성공하는 한 가지 배열이므로 P(X=2)=(1/2)²=1/4입니다. 학생은 기대 횟수와 특정 확률을 혼동하지 않도록 X의 가능한 값 0, 1, 2를 따로 적고, P(X=0)=1/4, P(X=1)=2×(1/2)²=1/2, P(X=2)=1/4로 계산합니다. 세 확률의 합이 1인지 확인하면 네 가지 결과인 빨강-빨강, 빨강-파랑, 파랑-빨강, 파랑-파랑을 빠뜨리지 않았는지도 대조할 수 있습니다.

조건을 바꾼 상황에서 다시 판단하기

이제 문제와 조건만 남겨 두고 풀이와 정답을 가린 채, 빨강 2개와 파랑 2개에서 공을 돌려놓지 않고 두 번 균등 추출하는 상황을 다시 시작합니다. 빨강 횟수 X를 B(2,1/2)로 둘 수 있는지 먼저 묻고, 첫 번째가 빨강일 때 둘째 빨강 확률이 1/3임을 직접 계산하게 합니다. 시행마다 성공확률이 같지 않고 독립도 아니므로 이항분포가 아닙니다. 실제로 P(X=2)=(2/4)(1/3)=1/6이며, B(2,1/2)에서 얻는 1/4와 다르므로 이항식 적용이 반박됩니다. 배움노트 고등수학 수업에서는 표현만 바뀐 문제와 복원 여부처럼 실제 조건이 바뀐 문제를 구별해 적도록 합니다. 마지막에는 풀이 순서를 보지 않은 채 복원 추출 문제를 다시 풀고, X~B(2,1/2), P(X=2)=1/4와 확률의 합 1이라는 검산까지 맞추는지 확인합니다.